数列基础全攻略：从概念到高级技巧
预计阅读时间: 8 分钟本篇博文梳理了数列的核心概念与常用方法，涵盖无限与有限数列、等差、等比、裂项放缩以及变量换元等专题。通过直观示例和简练公式，帮助高中生、竞赛爱好者以及自学者在短时间内建立完整的数列框架，进一步提升解题效率。
基础概念
数列是一组按顺序排列的数值，每一个位置称为 项。根据项数的不同，可分为 无限数列 与 有限数列。
无穷数列
若 $a:\mathbb N\to\mathbb C$ 为函数，则记为
$$ {a_n}{n\in\mathbb N}\quad\text{或}\quad(a_n){n\in\mathbb N} $$
其中 $a_n$ 为第 $n$ 项。
有限数列
设 $I_n={1,2,\dots ,n}$，则函数 $a:I_n\to\mathbb C$ 称为 有限数列，记作 ${a_i}_{i=1}^{n}$。
数列的级数
数列的逐项累加得到的序列称为 级数，记为
$$ S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i $$
$S_n$ 的递推关系为 $S_n=S_{n-1}+a_n$（$S_0=0$）。
数列与函数
数列本质是离散函数，常用 $a_n=f(n$ 表示其通项。由此可以把求和、差分等运算类比为积分、微分的离散版。
表示方法
列举法
直接写出前几项，如 $langle 1,2,4,8,\dots\rangle$。适用于短序列，无法完整描述无限数列。
图像法
把每一项对应的点绘于平面，仅能呈现离散散点，实际教学中不常使用。
通项公式
用代数式揭示 $n$ 与 $a_n$ 的关系。例如等比数列 $a_n=a_1q^{,n-1}$。
递推公式
用前一项或前几项描述后继项，如
$$ a_{n+1}=a_n+d \quad\text{（等差）} $$
或
$$ a_{n+1}=qa_n \quad\text{（等比）} $$
等差数列
相邻两项的差恒为常数 $d$，称为 公差。
递推公式
$$ a_{n+1}=a_n+d\qquad (n\ge 1) $$
通项公式
$$ a_n=a_1+(n-1)d $$
等差性质
- 前后项差：$d=\dfrac{a_n-a_m}{,n-m,}$
- 中项等式：$a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
- 任意两项之和相等：若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。
项数公式
已知首项 $a_1$ 与第 $k$ 项 $a_k$，可求项数
$$ k=\frac{a_k-a_1}{d}+1 $$
求和公式
等差前 $n$ 项和为
$$ S_n=\frac{n\bigl(a_1+a_n\bigr)}{2} =na_1+\frac{n(n-1)}{2}d $$
把 $S_n$ 看作二次函数 $S_n=\frac{d}{2}n^{2}+\bigl(a_1-\frac{d}{2}\bigr)n$，可直接求极值位置。
等差中项
给定两端 $a,b$，中项 $c$ 为算术平均数：
$$ c=\frac{a+b}{2} $$
累加法
若递推式 $a_n=a_{n-1}+f(n$，则
$$ a_n=a_1+\sum_{k=2}^{n}f(k) $$
多阶等差
对公差再求前缀和可得到二阶等差数列；若两阶数列相乘仍保持二阶结构。
等比数列
相邻两项的比值恒为常数 $q$，称为 公比。
递推公式
$$ a_{n+1}=qa_n\qquad (q\neq0) $$
通项公式
$$ a_n=a_1q^{,n-1} $$
等比性质
- 前后项积：$a_{n-1}a_{n+1}=a_n^{2}$
- 任意两项乘积相等：若 $m+n=p+q$，则 $a_m a_n=a_p a_q$。
求和公式
若 $q\neq1$，前 $n$ 项和为
$$ S_n=a_1\frac{q^{,n}-1}{q-1} $$
若 $q=1$，则 $S_n=na_1$。
等比中项
两端 $a,b$ 的几何平均数为中项：
$$ c=\sqrt{ab} $$
累乘法
若递推式 $a_n=a_{n-1}f(n$，则
$$ a_n=a_1\prod_{k=2}^{n}f(k) $$
裂项放缩
通过把复杂分式拆成差的形式，可以让求和过程出现大量相消项。
经典裂项
$$ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$
整式裂项
利用立方或高次多项式的差分进行拆分，如
$$ n(n+1)=\frac{1}{3}\Bigl[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)\Bigr] $$
从而得到
$$ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} $$
更多裂项
包括根式、阶乘以及高次幂的裂项，例如
$$ \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} $$
以及
$$ \frac{2^{k}}{2k^{4}+1} =\frac{1}{2k^{2}-2k+1}-\frac{1}{2k^{2}+2k+1} $$
共轭根式
利用 $sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$，可快速化简含根号的分式。
阶乘问题
典型恒等式
$$ n\cdot n!=(n+1)!-n! $$
帮助把阶乘序列转化为差分形式。
放缩基础与进阶
对于收敛性或渐进估计，常用不等式
$$ \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} $$
进一步可以使用根号不等式
$$ \frac{1}{\sqrt{n}}<2\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr) $$
提升估计精度。
通用方法
速算技巧
- 把 $S_0$ 设为 $0$，有时可直接求出常数项。
- 当级数满足 $S_n=a\cdot2^{,n-1}+a-2$ 时，令 $n=0$ 求 $a$。
等差等比混合
若数列形如 $a_n=(An+B)q^{,n-1}$，可化为
$$ S_n=(Dn+E)q^{,n}-E $$
其中 $D=\dfrac{A}{q-1}$、$E=\dfrac{B-D}{q-1}$。
数学归纳
通过基例与归纳假设，验证递推式的通项公式。
直接变形
把递推式两边加（或减）常数，使其转化为等比形式。例如 $a_n=pa_{n-1}+q$，取 $x=\dfrac{q}{p-1}$，则 $b_n=a_n+x$ 为等比数列。
变形累加
对 $a_n=pa_{n-1}+q$ 两边除以 $p^{,n}$，再累加得到
$$ a_n=(a_1-q)p^{,n-1}+ \frac{q}{p-1}\bigl(p^{,n}-1\bigr) $$
数列判定
- 定义法：检验 $a_n-a_{n-1}$（等差）或 $dfrac{a_n}{a_{n-1}}$（等比）是否为常数。
- 中项法：等差满足 $2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$，等比满足 $a_n^{2}=a_{n-1}a_{n+1}$。
奇偶数列
对交错符号或绝对值数列，可分别讨论正负段的和，从而得到整体求和公式。
单调性
若 $a_{n+1}\ge a_n$（或 $>$）则称为单调递增；若 $a_{n+1}\le a_n$（或 $<$）则为单调递减。迭代式 $a_{n+1}=f(a_n$ 的单调性可通过 $f'(x$ 的符号判断。
换元初步
三角换元
常用恒等式：
$$ \cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1,\qquad \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta} $$
帮助把二次递推转化为角度倍增。
例题（三角换元）
递推 $a_{n+1}=a_n^{2}-2$，取 $a_n=2\cos\theta_n$，得到 $theta_{n+1}=2\theta_n$，于是
$$ a_n=2\cos!\Bigl(2^{,n-1}\arccos\frac14\Bigr) $$
双曲换元
递推 $a_{n+1}=2a_n^{2}-1$，令 $a_n=\dfrac{k^{x}+k^{-x}}{2}$，得到
$$ a_n=\frac{(3+2\sqrt2)^{,2^{,n-1}}+(3-2\sqrt2)^{,2^{,n-1}}}{2} $$
基础例题精选
下面列出四道常见递推题的快速求解过程，帮助读者熟悉技巧。
例题一
递推 $a_n=2a_{n-1}+3;(n\ge2),\ a_1=1$。
加上常数 $3$ 后得到等比数列 $b_n=a_n+3=2^{,n+1}$，故
$$ a_n=2^{,n+1}-3 $$
例题二
递推 $a_n=a_{n-1}+n;(n\ge2),\ a_1=1$。
累加得到
$$ a_n=1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2} $$
例题三
递推 $a_n=2a_{n-1}+n;(n\ge2),\ a_1=1$。
除以 $2^{,n}$，累加后化简得
$$ a_n=2^{,n+1}-2-n $$
例题四
递推 $a_n=2a_{n-1}+n^{2};(n\ge2),\ a_1=1$。
同样除以 $2^{,n}$，经过差分与累加，最终得到
$$ a_n=3\cdot2^{,n+1}-n^{2}-4n-6 $$
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祝你在数列的世界里玩得开心，收获满满！