导数入门
预计阅读时间: 19 分钟导数的定义
导数概念
如果函数 $f(x$ 在 $x_{0}$ 的一个邻域 $x_{0} - \delta, x_{0} + \delta$ 有定义，且极限
$$ \boxed{\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}} $$
存在，那么称这个极限为 $f$ 在 $x_{0}$ 的导数，记作 $f'(x_{0}$ 或 $dfrac{\d f}{\d x}(x_{0}$。此时称 $f$ 在 $x_{0}$ 可导。
如果函数 $f(x$ 在 $x_{0}$ 的一个左邻域 $x_{0} - \delta, x_{0}$ 有定义，且极限
$$ \lim\limits_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} $$
存在，那么称这个极限为 $f$ 在 $x_{0}$ 的左导数，记作 $f'{-}(x{0}$。
如果函数 $f(x$ 在 $x_{0}$ 的一个右邻域 $x_{0}, x_{0} + \delta$ 有定义，且极限
$$ \lim\limits_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} $$
存在，那么称这个极限为 $f$ 在 $x_{0}$ 的右导数，记作 $f'{+}(x{0}$。
函数在 $x_{0}$ 可导的充要条件是它在 $x_{0}$ 的左导数和右导数存在且相等，即 $f$ 在点 $x_{0}$ 连续。（更加严谨的是，可导 ⇒ 连续，连续 ⇏ 可导）。
如果函数 $f$ 在区间 $I$ 内的每一点都可导，且在端点单侧可导，那么称 $f$ 在区间 $I$ 上可导。此时 $x \mapsto f'(x), x \in I$ 确定了一个函数，称为 $f$ 的导函数，简称导数，记作 $f'(x$ 或 $dfrac{\d f}{\d x}(x$。后一种符号由德国数学家莱布尼茨发明。
切线问题
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观察曲线 $y = f(x$ 的图像。连接曲线上的两点 $x_{0}, f(x_{0}$ 和 $x_{0} + \Delta x, f(x_{0} + \Delta x$，可以得到曲线的一条割线，其斜率
$$ k = \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} $$
由于函数 $f(x$ 在 $x_{0}$ 连续，当 $Delta x$ 趋于 $0$ 时，割线趋于某条特定的直线，这条直线称为曲线在点 $x_{0}, f(x_{0}$ 的切线，其斜率
$$ k = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} $$
这就是导数的几何意义。通过点斜式可以写出切线的方程：$y - f(x_{0}) = f'(x_{0}) (x - x_{0}$。
注意，在求切线的题里，给定的点 $a,b$ 不一定在曲线上，如果不在曲线上，那么设出切点 $x,f(x$，写出：
$$ f'(x)\cdot\dfrac{f(x)-b}{x-a}=-1 $$
若是两条曲线的公切线问题，则切线方程需要算两次，然后根据直线方程列出对应参数相等，例如：求曲线 $f(x)=\ln x+2$ 与曲线 $g(x)=\ln(x+1$ 的公切线。
-
设公切线切 $f$ 于点 $x_1,\ln x_1+2$，则：
$$ y=\dfrac{1}{x_1}x+\ln x_1+1 $$
-
设公切线切 $g$ 于点 $x_2,\ln(x_2+1$，则：
$$ y=\dfrac{1}{x_2+1}x+\dfrac{1}{x_2+1}+\ln(x_2+1)-1 $$
因为这是一条直线，所以列出总方程：
$$ \begin{cases} \dfrac{1}{x_1}=\dfrac{1}{x_2+1}\ \ln x_1+1=\dfrac{1}{x_2+1}+\ln(x_2+1)-1 \end{cases} $$
解得 $x_1=\dfrac{1}{2}$，带入可知 $y=2x+1-\ln2$。
一般地，求曲线的切线方程都是通过求导的方式。但是若曲线为二次函数，一般利用的是判别式方法，即联立两方程，若相切则方程只有一个解，用 $Delta=0$ 计算即可。
上面的写法可能有一些复杂，我们这里提供一个思路清晰的方法，我们将切线问题转化为一个点和一个斜率，设切点 $x_1,y_1),(x_2,y_2$，列出：
-
点：$y_1=f(x_1),y_2=g(x_2$。
-
斜：$k=f'(x_1)=g'(x_2$。
这样就可以直接把问题转化为一个解方程了。
还有一个经典的问题，过某点有且仅有几条切线，可以直接列出方程，令其有且仅有几个解即可，注意此时应当注意移项除法是否为零。
极限定义
极限法求导数，是最简单的方法，高中数学中需要求导的函数基本上都是连续的，我们无需考虑不连续的情况，因此我们设出一个 $Delta x$ 表示增量，用微分的思想，例如 $f(x)=ax^2$：
$$ \begin{aligned} \dfrac{\d f}{\d x}(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{a(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x\to 0} (2ax+a\Delta x) \end{aligned} $$
我们知道，$Delta x$ 是趋近于 $0$，但是 $0/0$ 没有意义，所以我们继续化简，化简到最后，我们的 $a\Delta x$ 也是趋近于 $0$ 的，因此就可以忽略了，即导函数：
$$ f'(x)=2ax $$
通过一些多项式定理、三角恒等变换等，我们可以轻松得出下面的几个常用导数：
导数的运算
四则运算
导数的加减法则：
$$ \boxed{[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)} $$
证明：
$$ \begin{aligned} [f(x)\pm g(x)]' &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{[f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x)]-[f(x)\pm g(x)]}{\Delta x}\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{[f(x+\Delta x)-f(x)]\pm [g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x} \pm \dfrac{[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x\to 0} f'(x)\pm g'(x) \end{aligned} $$
导数的乘法法则：
$$ \boxed{[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} $$
同时，如果 $g(x)=c$ 也就是说：
$$ \boxed{[cf(x)]'=cf'(x)} $$
导数的除法法则：
$$ \boxed{\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}} $$
可以由：
$$ \boxed{\left[\dfrac{1}{g(x)}\right]'=-\dfrac{g'(x)}{g^2(x)}} $$
推导得到，而上式可以通过复合函数，结合 $x^{-1}]'=-x^{-2}$ 推导得到。
同时根据我们熟知的 $e^x]'=e^x$，利用导数的除法法则可以用于推导对数函数，另外还有正切函数的导数。
链式法则
容易知道：
$$ \boxed{\dfrac{\d y}{\d x}=\dfrac{\d y}{\d z}\cdot\dfrac{\d z}{\d x}} $$
此时，我们令 $y=f[g(x$，$z=g(x$，那么：
$$ \dfrac{\d f(g(x))}{\d x}=\dfrac{\d f(g(x))}{\d g(x)}\cdot\dfrac{\d g(x)}{\d x} $$
也就是说：
$$ \boxed{(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)} $$
这就是复合函数的导数，根据这个可以推导反函数求导：
$$ \dfrac{\d y}{\d x}\cdot\dfrac{\d x}{\d y}=1 $$
也就是说函数的导数与其反函数的导数互为倒数：
$$ \boxed{f'(x)\cdot(f^{-1})'(y)=1} $$
例如：
$$ \begin{aligned} [\arcsin x]'&=\dfrac{1}{(\sin y)'}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ [\arccos x]'&=\dfrac{1}{(\cos y)'}=-\dfrac{1}{\sin y}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ [\arctan x]'&=\dfrac{1}{(\tan y)'}=\cos^2y=\dfrac{1}{x^2+1}\ \end{aligned} $$
另外还有一种对数求导法：
$$ \boxed{[\ln h(x)]'=\frac{h'(x)}{h(x)}} $$
那么，也就是说：
$$ \boxed{h'(x)=h(x)[\ln h(x)]'} $$
这对于 $h(x$ 为幂函数、指数函数的求导非常有帮助，具体的：
$$ [a^x]'=a^x[\ln a^x]'=a^x[x\ln a]'=a^x\ln a $$
$$ [x^n]'=x^n[\ln x^n]'=x^n[n\ln x]'=x^n\dfrac{n}{x}=nx^{n-1} $$
高阶导数
设函数 $f(x$ 在区间 $I$ 上有导数 $f'(x$：
-
若 $f'$ 在 $I$ 上可导。其为二阶导数，记作 $f''(x$ 或 $f^{(2)}(x$ 或
$$ \dfrac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} x^{2}}(x) $$
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如果二阶导数仍然可导，那么就有三阶导数 $f'''(x$ 或 $f^{(3)}(x$ 或
$$ \dfrac{\mathrm{d}^{3} f}{\mathrm{d} x^{3}}(x) $$
-
......
-
如果 $f$ 的 $n - 1$ 阶导数可导，那么称其导数为 $f$ 的 $n$ 阶导数
$$ \dfrac{\mathrm{d}^{n} f}{\mathrm{d} x^{n}}(x) $$
记作 $f^{(n)}(x$。无限阶可导的函数称为光滑函数。
根据定义，不难得到两个函数和、差的高阶导数：
$$ \boxed{[f(x) \pm g(x)]^{(n)} = f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)} $$
对于两个函数乘积的高阶导数，则有莱布尼茨公式：
$$ \boxed{[f(x) g(x)]^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} f^{(k)}(x) g^{(n - k)}(x)} $$
证明由数学归纳法即可。
隐函数偏导
对于多元函数 $z=F(x,y$ 或更一般的 $F(x,y,\dots$，我们研究其对某一个变量的变化率时，我们假装其他所有变量都是常数，然后像求普通导数一样，只对我们关心的那个变量求导，这就是偏导，为了与普通的导数 $d$ 区分，我们用一个新的符号 $partial$，例如记函数 $F$ 对 $x$ 的偏导为 $F_x$，其计算方法为：
$$ \boxed{\begin{aligned} F_x=\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)&=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{F(x+\Delta x,y)-F(x,y)}{\Delta x}\ F_y=\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y)&=\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{F(x,y+\Delta y)-F(x,y)}{\Delta y} \end{aligned}} $$
在计算偏导的时候，求对某个变量的偏导数时，就把其他所有变量都看作是常数，然后按照普通求导的方法计算即可，例如以 $F(x,y)=x^2+3xy+y^3$ 为例：
$$ \begin{cases} F_x&=2x+3y\ F_y&=3y^2+3x\ \end{cases} $$
可以写成 $y=f(x$ 的称为显函数，而有些是由方程 $F(x,y)=0$ 确定的，这种函数称为隐函数。隐函数求导的核心是，将 $y$ 看成 $f(x$，然后对等式两边关于 $x$ 求导，此时应当使用链式法则。
例如对于一个关于 $y$ 的式子 $g(y$，其导数应当为 $g'(y)\cdot y'$，也就是说，我们对这个式子直接关于 $y$ 求导之后，还要再乘上 $y'$，最后式子化为仅和 $x,y,y'$ 有关的式子，用 $x,y$ 表示 $y'$ 即可。
例如，我们对 $x^2+4y^2-16=0$ 求导，两边对 $x$ 求导：
$$ 2x+8y\cdot y'=0 $$
也就是说：
$$ y'=-\dfrac{x}{4y} $$
此时，带入满足曲线方程上的点 $x,y$，得到的即为该处的切线斜率。
另外，还可以通过求偏导的方式解决，我们容易求出：
$$ \begin{cases} F_x&=2x\ F_y&=8y \end{cases} $$
那么，根据下面的式子：
$$ \boxed{\dfrac{\d y}{\d x}=-\dfrac{F_x}{F_y}} $$
也可以得出上面的导数，可以用于求曲线的切线方程。容易发现，后面的这个分数，相反数，完全就是 $F_y,F_x$ 的法线斜率，这也可以用曲面的倾斜方向来解释。但是这个观点过于高深，我们不去涉及。
洛必达法则
我们已经知道：
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当 $x$ 趋于 $0$ 时，$ln x$ 趋于 $-\infty$；当 $x$ 趋于 $+\infty$ 时，$ln x$ 趋于 $+\infty$；
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当 $x$ 趋于 $-\infty$ 时，$e^x$ 趋于 0；当 $x$ 趋于 $+\infty$ 时，$e^x$ 趋于 $+\infty$；
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当 $x > 0$ 且 $x$ 趋于 $0$ 时，$dfrac{1}{x}$ 趋于 $+\infty$；当 $x < 0$ 且 $x$ 趋于 $0$ 时，$dfrac{1}{x}$ 趋于 $-\infty$。
而洛必达法则定义了更加复杂的分式型极限，若当 $x\to a$，有 $f(x),g(x$ 同时趋近于 $0$ 或无穷，那么：
$$ \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} $$
例如当 $x \to +\infty$ 时，分式函数
$$ f(x) = \frac{e^x}{x^2} $$
的分子 $e^x \to +\infty$ 且分母 $x^2 \to +\infty$，则无法直接判断 $f(x$ 的取值趋势，利用洛必达法则可得
$$ \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2x} $$
分子 $e^x$ 和分母 $2x$ 依然趋于正无穷，故再次利用洛必达法则可得
$$ \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty $$
注意：如果不是 $dfrac{0}{0}$ 型或者 $dfrac{\infty}{\infty}$ 型，则需要先变形使之成为 $dfrac{0}{0}$ 型或者 $dfrac{\infty}{\infty}$ 型。比如 $0 \cdot \infty$ 型可以转化为 $dfrac{0}{\frac{1}{\infty}}$ 型或 $dfrac{+\infty}{\frac{1}{0}}$ 型。举个例子：当 $x \to 0$ 时，$x \ln x$ 中 $x \to 0$，$ln x \to -\infty$，可将其变形为 $x \ln x = \dfrac{\ln x}{\frac{1}{x}}$，之后再用洛必达法则。
一定要注意洛必达法则的前提：分子和分母都趋于 $0$ 或 $infty$，否则洛必达失效！比如我们都知道
$$ \lim_{x\to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0 $$
但如果你用洛必达法则就会得到错误的结论：
$$ \lim_{x\to +\infty} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\cos x}{1} = \text{不存在} $$
微分中值定理
罗尔中值定理
如果函数 $f(x$ 在 $a,b$ 上连续，在开区间 $a,b$ 可导，若 $f(a)=f(b$，则存在 $xi\in(a,b$，使得
$$ f'(\xi)=0 $$
证明：函数 $f(x$ 在闭区间 $a,b$ 一定可以取到最值，如果在开区间 $a,b$ 上一点 $xi$ 取到，那么 $xi$ 就是极值点，根据费马引理，$f'(\xi)=0$。如果最值只能在区间端点取到，因为 $f(a)=f(b$，所以 $f(x$ 的最大值和最小值相等，$f(x$ 为常函数，其导数永远为零。
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罗尔中值定理的几何意义是：如果函数两个端点的函数值相等，那么函数图像上至少有一点的切线平行于 $x$ 轴。
达布中值定理
达布中值定理，也成为导数的介值定理，介值定理表明，对于定义在闭区间上的连续函数，任取端点值之间的任意值，在区间内一定存在某个点使得函数在此处取该值；等价地，闭区间上的连续函数可以取到最大值和最小值之间的任意值。
如果函数 $f(x$ 在 $a,b$ 上连续，在开区间 $a,b$ 可导，假设 $f'(a)<f'(b$，则对于任意 $eta\in(f'(a),f'(b$，都存在 $xi\in(a,b$ 使得
$$ f'(\xi)=\eta $$
-
在闭区间 $a,b$ 上连续
直观含义：函数的图形从 $x=a$ 到 $x=b$ 是一条完整的、没有断裂的曲线。你可以用笔从头到尾把它画出来，而不需要抬起笔。
技术含义：
- 函数在开区间 $a,b$ 内的每一点都连续。
- 函数在两个端点 $a$ 和 $b$ 也是连续的。
这保证了函数在区间的边界处行为是"可预测的"，没有发生跳跃或丢失。
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在开区间 $a,b$ 上可导
直观含义：函数的图形在 $a$ 和 $b$ 之间是光滑的，没有尖角或垂直的切线。在每一点，你都可以画出一条唯一的、非垂直的切线。
技术含义：对于 $a,b$ 内的每一点 $x$，导数 $f(x$ 都存在且是一个有限值。这代表了函数在每一点的瞬时变化率都是明确的。
-
经典例子：
考虑函数 $f(x) = \sqrt{1-x^2}$，它的图像是单位圆的上半部分，定义域为 $-1,1$。
它在闭区间 $-1,1$ 上是连续的，它在开区间 $-1, 1$ 上是可导的。
但是在端点 $x=-1$ 和 $x=1$ 处，切线是垂直的，导数是无穷大，所以它在端点不可导。
这个函数满足"闭区间连续，开区间可导"的条件，因此所有基于这个条件的定理都对它适用。如果我们要求在闭区间 $a,b$ 上可导，那么像 $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ 这样的函数就会被排除在外，定理的普适性就降低了。
我们只需要函数在内部是光滑的，就可以研究它的变化趋势。我们允许它在端点处变得"不光滑"（例如出现垂直切线）。
当你看到"函数在闭区间 $a,b$ 上连续，在开区间 $a,b$ 上可导"这个条件时，你的脑海里应该立刻响起警铃："中值定理要来了！"
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广：如果函数 $f(x$ 在 $a,b$ 上连续，在开区间 $a,b$ 可导，则存在 $xi\in(a,b$，使得：
$$ f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
证明：令直线方程 $g(x$ 过 $a,f(a)),(b,f(b$ 两点，则函数
$$ g(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) $$
那么，令 $F(x)=f(x)-g(x$，对 $F(x$ 使用罗尔中值定理，即可得到。
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拉格朗日中值定理的几何意义是：函数图像上至少有一点的切线平行于函数两个端点的连线。
利用拉格朗日中值定理容易得到两个推论：
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如果函数 $f(x$ 在区间 $I$ 上可导，且对于任意 $x\in I$ 都有 $f'(x)=0$，则 $f(x$ 在区间 $I$ 上为常数。
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如果函数 $f,g$ 在区间 $I$ 上可导，且对于任意 $x\in I$ 都有 $f'(x)=g'(x$，则 $f,g$ 在区间 $I$ 上相差一个常数。
柯西中值定理
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广：如果函数 $f,g$ 在闭区间 $a,b$ 上连续，在开区间 $a,b$ 上可导，且对任意 $x\in(a,b$ 都有 $g'(x)\neq0$，则存在 $xi\in(a,b$，使得
$$ \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} $$
拉格朗日中值定理是 $g(x)=x$ 时的特殊情况，证明也类似的设：
$$ g(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]+f(a) $$
应用罗尔中值定理即可得到。
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柯西中值定理的几何意义是：用参数方程
$$ \begin{cases} x&=g(t)\y&=f(t) \end{cases} $$
表示的曲线上至少有一点的切线平行于曲线两个端点的连线。