#多项式入门

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#基础方法

#乘法公式

分配率：

$$ \begin{aligned} (a+b)(c+d)&=ac+ad+bc+bd\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2 \end{aligned} $$

和差方：

$$ \begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\ (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\ (a-b)^3&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\ (a+b+c)^2&=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ \end{aligned} $$

二项式定理：

$$ \begin{aligned} (x+y)^n&=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^ky^{n-k}\ (x+1)^n&=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k \end{aligned} $$

方和差：

$$ \begin{aligned} a^3+b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\ a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2)\ a^2+b^2&=(a+b)^2-2ab\ a^2+b^2&=(a-b)^2+2ab\ a^3+b^3+c^3&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\ \end{aligned} $$

一般形式：

$$ \begin{aligned} a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})\ a^n+b^n&=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})&n=2k+1,k\in\mathbb Z \end{aligned} $$

次方和公式：

$$ \sum_{i=1}^ni={n(n+1)\over2} $$

$$ \sum_{i=1}^ni^2={n(n+1)(2n+1)\over6} $$

$$ \sum_{i=1}^ni^3=\left[{n(n+1)\over2}\right]^2={n^2(n+1)^2\over4} $$

$$ \sum_{i=1}^ni^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^3+3n-1)}{30} $$

对于五次方及以上，公式较为复杂，一般不考察。

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式：

$$ \begin{aligned} (a^2+b^2)(c^2+d^2)&=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\ &=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 \end{aligned} $$

这个恒等式指出，如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。

#计算技巧

共轭根式：

$$ (\sqrt2\pm1)^2=3\pm2\sqrt2\ (\sqrt3\pm1)^2=4\pm2\sqrt3 $$

平方：

$$ \begin{array}{lllll} &11^2=121&12^2=144&13^2=169&14^2=196\ 15^2=225&16^2=256&17^2=289&18^2=324&19^2=361\ &21^2=441&22^2=484&23^2=529&24^2=576\ 25^2=625&26^2=676&27^2=729&28^2=784&29^2=841\ &31^2=961&32^2=1024&33^2=1089&34^2=1156\ 35^2=1225&36^2=1296&37^2=1369&38^2=1444&39^2=1521\ &41^2=1681&42^2=1764&43^2=1849&44^2=1936\ {\color{red}45^2=2025}&46^2=2116&47^2=2209&48^2=2304&49^2=2401\ \end{array} $$

立方：

$$ \begin{array}{lllll} &&,,,2^3=8&,,,3^3=27&,,,4^3=64\ ,,,5^3=125&,,,6^3=216&,,,7^3=343&,,,8^3=512&,,,9^3=729\ 10^3=1000&11^3=1331&12^3=1728&13^3=2197&14^3=2744\ 15^3=3375&16^3=4096&17^3=4913&18^3=5832&19^3=6859\ 20^3=8000&21^3=9261&22^3=10648&23^3=12167&24^3=13824\ 25^3=15625&26^3=17576&27^3=19683&28^3=21952&29^3=24389\ 30^3=27000&31^3=29791&32^3=32768&33^3=35937&34^3=39304\ 35^3=42875&36^3=46656&37^3=50653&38^3=54872&39^3=59319\ 40^3=64000 \end{array} $$

幂：

$$ \begin{array}{lllll} &2^{1},,=2&2^{2},,=4&2^{3},,=8&2^{4},,=16\ 2^{5},,=32&2^{6},,=64&2^{7},,=128&2^{8},,=256&2^{9},,=512\ 2^{10}=1024&2^{11}=2048&2^{12}=4096&2^{13}=8192&2^{14}=16384\ 2^{15}=32768&2^{16}=65536 \end{array} $$

$$ \begin{array}{llllll} 3^{2}=9&3^{3}=27&3^{4}=81&3^{5}=243&3^{6}=729&3^{7}=2187\ 5^{2}=25&5^{3}=125&5^{4}=625&5^{5}=3125&5^{6}=15625&5^{7}=78125 \end{array} $$

阶乘：

$$ \begin{array}{llllll} 0!=1&1!=1&2!=2\ 3!=6&4!=24&5!=120\ 6!=720&7!=5040&8!=40320 \end{array} $$

#因式分解

经典分离技巧：

$$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) $$

$$ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 $$

$$ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 $$

$$ x^3+\dfrac{1}{x^3}=\paren{x+\dfrac{1}{x}}\paren{x^2+\dfrac{1}{x^2}-1} $$

一般的，

$$ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}) $$

$$ a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots\pm b^{n-1}),n\equiv1\pmod2 $$

双十字相乘：

$$ x^2+4y^2+4xy+6x+12y+9=(x+2y+3)^2 $$

1. 分解 $x^2,y^2,xy$。

2. 将 $x$ 或 $y$ 分为两部分。

3. 检验。

因式定理：形如

$$ f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n $$

的称为多项式，若 $f(a)=0$，则 $f(x$ 一定可以分解成：

$$ f(x)=(x-a)g(x) $$

其中 $g(x$ 是比 $f(x$ 低一次的多项式。

长除法​：根据因式定理，可以通过长除法来分解多项式。

如果已知多项式的一个或多个零点，因式定理可以帮助提取对应零点的因式，将多项式化简为更低次数的形式，从而简化求根过程。具体步骤如下：

• 先设法找到多项式 $f$ 的一个零点 $a$。
• 用因式定理确认 $x-a$ 是多项式 $f(x$ 的因式。
• 用长除法计算多项式 $g(x)=\frac{f(x)}{x-a}$。
• 在方程 $f(x)=0$ 中，所有满足 $x\neq a$ 的根，都是方程 $g(x)=0$ 的根。
• 由于 $g(x$ 的多项式次数比 $f(x$ 低，因此求 $g$ 的零点可能更简单。

#等式与方程

#韦达定理

对于二次方程

$$ ax^2+bx+c=0 $$

有根的判别式

$$ \Delta=b^2-4ac $$

两根公式

$$ x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} $$

有韦达定理

$$ x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} $$

$$ x_1x_2=\dfrac{c}{a} $$

$$ |x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt\Delta}{|a|} $$

因此

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\dfrac{b^2-2ac}{a^2} $$

$$ |x_1^2-x_2^2|=|(x_1+x_2)(x_1-x_2)|=\dfrac{|b|\sqrt{b^2-4ac}}{a^2} $$

$$ \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\dfrac{b}{c} $$

$$ \vert{\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}}=\dfrac{|x_1-x_2|}{|x_1x_2|}=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{|c|} $$

有二次函数根的分布：

• 方程有两个正根：

  $$ \Delta > 0, x_1 + x_2 > 0, x_1x_2 > 0 $$

• 方程有两个负根：

  $$ \Delta > 0, x_1 + x_2 < 0, x_1x_2 > 0 $$

• 方程有两个异号根：

  $$ x_1x_2 < 0 $$

• 方程有两个根均大于 $m$：

  $$ \Delta > 0, x_1 + x_2 > 2m, (x_1 - m)(x_2 - m) > 0 $$

• 方程有两个根均小于 $m$：

  $$ \Delta > 0, x_1 + x_2 < 2m, (x_1 - m)(x_2 - m) > 0 $$

• 方程有两个根在 $m$ 两侧：

  $$ (x_1 - m)(x_2 - m) < 0 $$

• 方程有两个根在 $l, r$ 之间：

  $$ \Delta > 0, l < -\frac{b}{2a} < r, f(l)f(r) > 0 $$

• 方程有两个根在 $l, r$ 之间：

  $$ \Delta > 0, l < -\frac{b}{2a} < r, a \cdot f(l) \ge 0, a \cdot f(r) \ge 0 $$

• 方程有两个根，一个在 $l, r$ 之间：

  $$ \Delta > 0, f(l)f(r) < 0 $$

• 方程有两个根，一个在 $l, r$ 之间：

  $$ \Delta > 0, f(l)f(r) < 0 $$

  或

  $$ \Delta > 0, f(l) = 0, \frac{l+r}{2} < -\frac{b}{2a} $$

  或

  $$ \Delta > 0, f(r) = 0, -\frac{b}{2a} < \frac{l+r}{2} $$

非对称韦达定理：求出 $x_1x_2$ 与 $x_1+x_2$ 的比值，带入其中一个求解。

#泰勒展开

14 世纪，马德哈瓦最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉学派在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到 16 世纪。到了 17 世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到 1715 年，布鲁克·泰勒提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在 18 世纪发表的，并以其名字命名。

设 $n$ 是一个正整数，如果定义在一个包含 $a$ 的区间上的函数在 $a$ 点 $n+1$ 次可导，那么对于这个区间上的任意 $x$ 都有：

$$ f(x)=f(a)+\dfrac{f'(a)}{1!}(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x) $$

其中的多项式称为函数在 $a$ 处的泰勒展开式，剩余的 $R_n(x$ 是泰勒展开式，是 $x-a)^n$ 的高阶无穷小 $mathrm{o}[(x-a)^n$。

$$ e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!} $$

$$ \ln(x+1)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5}+\dots+(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} $$

$$ \sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$

$$ \cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\dots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} $$

根据这些可以得到一些经典的不等式：

$$ \boxed{e^x\ge\dfrac{1}{2}x^2+x+1},x\ge0 $$

$$ \boxed{e^x\ge x^2+1>x^2},x\ge0 $$

$$ \boxed{\ln x\le\dfrac{x}{e}},x>0 $$

$$ \boxed{\ln x\le x^2-x},x>0 $$

#多项式插值

插值是一种通过已知的、离散的数据点推算一定范围内的新数据点的方法，分为线性插值和多项式插值。多项式插值的一般形式如下：对已知的 $n+1$ 的点 $x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n$，求 $n$ 阶多项式 $f(x$ 满足：

$$ f(x_i)=y_i,\forall i=0,1,\dots,n $$

形式化来说，就是给定 $n$ 个纵坐标不同的点，求一个不超过 $n$ 次的多项式 $f(x$，使其过这 $n$ 个点。

最简单的插值法就是拉格朗日插值法：尝试构造多项式 $f_i(x$ 使得 $f_i(x)=[i=x_i$，易得：

$$ f_i(x)=\prod_{j\neq i}{x-x_j\over x_i-x_j} $$

可得拉格朗日插值的形式为：

$$ f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\cdot f_i(x) $$

化简为：

$$ f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j\neq i}{x-x_j\over x_i-x_j} $$