#圆周运动

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#圆周运动相关定义

#物理量

1. 线速度：单位时间通过的弧长，$v(\mathrm{m/s}$；
2. 角速度：单位时间通过的角度，$omega(\mathrm{rad/s}$；
3. 周期：完成一次的时间，$T(\mathrm{s}$；
4. 频率：单位时间完成的次数：$f(\mathrm{s^{-1},Hz}$；
5. 转速：单位时间完成的圈数：$n(\mathrm{r/s}$。

#匀速圆周运动

$$ T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{\omega} $$

推导出来：

$$ v=\omega r $$

即速度（$v$）在（$=$）绕（$r$）弯（$omega$）。

$$ f=n=\dfrac{1}{T} $$

#向心力和向心加速度

向心力：

$$ F_c=\dfrac{mv^2}{r}=m\omega^2r=mv\omega $$

向心加速度：

$$ a_c=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r=v\omega $$

#圆周运动解题思路

#列表法

对于匀速圆周运动多个圈的题目，列表：

$$ \begin{array}{|c|l|l|l}\hline &P_c&Q_c&\dots\hline \bm r\hline \bm \omega\hline \bm v\hline \bm a\hline \end{array} $$

上面对应的就是几个圆周，从上到下填表。

填表的时候常用公式 $a=v\omega$。

如果是求比例，那么设 $omega$ 相同的点为单位 $1$。

#关联速度

现象：传送带上，各处线速度相同；同一物体，各处角速度相同。

现象：沿绳沿杆速度大小相同，力相同，垂直于接触面方向速度相同。

解决方法：

1. 判断合运动方向；
2. 分解合运动到沿绳沿杆方向；
3. 根据速度分量列等式。

#牛二思路

切线方向，列平衡式子，注意这个式子一定要列，下面可能会用到；

向心方向，列 $F_合=F_向 $（匀速），其中合外力通过受力分析找，$r$ 要找。

常有模型：圆锥摆。

#圆锥摆模型

#基础圆锥摆模型

指向圆心和竖直方向建系，列出两个方向上的牛二方程：

$$ \begin{aligned} F_合=T\sin\theta\ T\cos\theta=mg \end{aligned} $$

其中 $theta$ 为绳子和竖直方向的夹角。

列出合外力等于向心力：

$$ F_合=m\omega^2r $$

计算得到：

$$ \omega=\sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}} $$

#同角不同面模型

{align="right" width="30%"}

物体和法线的夹角相同，但是不同水平面，如右图所示。

假设接触面光滑：

$$ \begin{aligned} F_合=F_N\cos\theta\ F_N\sin\theta=mg \end{aligned} $$

结论是向心加速度相同：

$$ a=\dfrac{F_合}{m}=g\cot\theta $$

同角不同面，最常见的是漏斗里面小球转圈圈。

• 根据 $F_向=ma$，因此质量越大，向心力越大。

• 根据 $displaystyle F_N=\dfrac{mg}{\sin\theta}$，因此质量越大，对斜面压力越大。

• 根据 $a=\omega^2r$，因此半径越大，角速度越小。

• 根据 $displaystyle a=\dfrac{v^2}{r}$，因此半径越大，线速度越大。

#同面不同角模型

{align="right" width="35%"}

物体在同一平面，与法线的夹角不同，如右图。

根据圆锥摆的公式，角速度 $omega$ 对各物体相同：

$$ \omega=\sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}}=\sqrt{\dfrac{g}{H}} $$

• 根据 $a=\omega^2r$，因此半径越大，加速度越大。

• 根据 $v=r\omega$，因此半径越大，线速度越大。

反向推论：角速度相同，则物体也会在同一平面上。

#圆锥摆求夹角

在一根长度为 $l$ 的绳子下端悬挂一个质量为 $M$ 的小球，以匀角速度 $omega$ 旋转。

求：绳子与铅锤方向所成的角 $theta$。

易得：

$$ \begin{aligned} T\cos\theta&=Mg\ T\sin\theta&=M\omega^2r=M\omega^2l\sin\theta \end{aligned} $$

注意到一个可行解是 $sin\theta=0$，即 $theta=0$（因为 $theta=\pi$ 是不稳定状态）。

否则，

$$ T=M\omega^2l $$

即，

$$ Mg=T\cos\theta=M\omega^2l\cos\theta $$

$$ \cos\theta=\dfrac{g}{\omega^2l},;\theta=\arccos\left(\dfrac{g}{\omega^2l}\right) $$

结论：

$$ \theta=\left{\begin{aligned} &0&,\omega\le\sqrt{\dfrac{g}{l}}\ &\arccos\left(\dfrac{g}{\omega^2l}\right)&,\omega>\sqrt{\dfrac{g}{l}}\ \end{aligned}\right. $$

#圆锥摆临界问题

先求出临界状态下的角速度。

根据临界角速度和实际角速度，做出受力分析。

#圆盘模型

#单物体圆盘模型

一个水平转动的圆盘上有一个物体。

此时，摩擦力提供向心力，物体与圆盘之间的摩擦因数为 $mu$。

当最大静摩擦力（大小视为滑动摩擦力）等于向心力时恰好不滑动。

$$ \mu mg=m\omega^2r $$

得出：

$$ \omega=\sqrt{\dfrac{\mu g}{r}} $$

#多物体圆盘模型

一个水平转动的圆盘上两个物体，考虑谁会先开始滑动。

物体 $m_1,m_2,\mu_1,\mu_2$，可以计算出每个物体的临界角速度。

$$ \begin{aligned} \mu_1m_1g&=m_1\omega_1^2r_1\ \mu_2m_2g&=m_2\omega_2^2r_2\ \end{aligned} $$

得出：

$$ \begin{aligned} \omega_1&=\sqrt{\mu_1g\over r_1}\ \omega_2&=\sqrt{\mu_2g\over r_2} \end{aligned} $$

即 $displaystyle{\mu\over r}$ 小的先发生滑动，大的后发生滑动。

如果摩擦系数相同，则离圆心越远，越先开始滑动。

#同侧连接体圆盘模型

两物体质量分别为 $m_1,m_2$，用轻绳连接。

两物体与圆盘摩擦系数为 $mu_1,\mu_2$，且距圆心分别为 $r_1,r_2(r_1<r_2$ 同侧。

问题一：转速多大绳子出现拉力。

根据单物体圆盘模型，两物体独立的临界角速度分别为：

$$ \omega_1=\sqrt{\mu_1g\over r_1} $$

$$ \omega_2=\sqrt{\dfrac{\mu_2g}{r_2}} $$

如果 $omega_1<\omega_2$，则绳子会松弛，我们不考虑这个情况。

因此，当转速大于等于 $omega_2$ 的时候，绳子会出现拉力。

问题二：转速多大物体一起运动。

对物体整体法分析：

$$ \mu_1m_1g+\mu_2m_2g=m_1\omega^2r_1+m_2\omega^2r_2 $$

得出：

$$ \omega=\sqrt{\dfrac{(\mu_1m_1+\mu_2m_2)g}{m_1r_1+m_2r_2}} $$

假设物体质量相等，即 $m_1=m_2$，则有：

$$ \omega=\sqrt{(\mu_1+\mu_2)g\over r_1+r_2} $$

假设物体摩擦因数相等，即 $mu_1=\mu_2$，则有：

$$ \omega=\sqrt{\dfrac{\mu g(m_1+m_2)}{m_1r_1+m_2r_2}} $$

假设 $m_1=m_2$ 且 $mu_1=\mu_2$，则有：

$$ \omega=\sqrt{\dfrac{2\mu g}{r_1+r_2}} $$

注意到不可能有 $r_1=r_2$，因为是两个物体。

#异侧连接体圆盘模型

可以进行质心的分析，简单来说两物体需要提供的向心力增量：

$$ \begin{aligned} \Delta F_1&=m_1\Delta(\omega^2)r_1\ \Delta F_2&=m_2\Delta(\omega^2)r_2 \end{aligned} $$

随着 $omega$ 的增大，一定有一个先产生相对滑动趋势，假设是 $1$ 物体。

$$ \omega_1=\sqrt{\dfrac{\mu_1g}{r_1}} $$

表示达到这个角速度时 $1$ 物体恰好没有产生相对滑动趋势。

此时，我们知道角速度增大一个小的增量 $Delta\omega$，绳子就会提供 $Delta F_1$ 的拉力。

• 此时注意到，如果 $Delta F_1>\Delta F_2$，也就是 $m_1r_1>m_2r_2$，此时绳子拉力的增大快于了 $2$ 物体向心力的需求增量。那么，$2$ 物体的摩擦力就会减小，然后反向，最终向 $1$ 物体一侧滑开。我们设 $omega_2$ 表示恰好 $2$ 物体没有摩擦力，$omega_3$ 表示恰好不滑动。

  $$ \begin{aligned} \omega_1&=\sqrt{\mu g\over r_1}\ \omega_2&=\sqrt{\mu g\over r_1-r_2}\ \omega_3&=\sqrt{2\mu g\over r_1-r_2} \end{aligned} $$

• 此时注意到，如果 $Delta F_1=\Delta F_2$，也就是 $m_1r_1=m_2r_2$，绳子拉力的增量等于了 $2$ 物体向心力的需求增量。那么，此时绳子拉力不断增大，$1$ 物体保持最大静摩擦状态，$2$ 物体保持原先的摩擦力大小，然而绳子拉力大小不断增大，有拉力 $T$ 和角速度的关系：

  $$ T=m_2(\omega^2-\omega_1)^2r_2 $$

• 此时注意到，如果 $Delta F_1<\Delta F_2$，也就是 $m_1r_1<m_2r_2$，此时绳子拉力的增量不足 $2$ 物体向心力的需求增量，因此 $2$ 物体摩擦力继续增大，因为绳子拉力保持了 $1$ 的静止，因此最终发生 $2$ 的最大静摩擦及滑动，向 $2$ 物体一侧滑开。

注意到这个可以通过质点的形式解决，我们将会在质点系中再次讨论。

#非匀速绳杆模型

#基础形态

区别：绳子无法提供对物体向上的力。

列式：

$$ \begin{aligned} G+T&=F_c\ mg+T&=m\frac{v^2}{r} \end{aligned} $$

{width="100%"}

#绳模型

考虑最高点最小速度、恰好经过顶点、绳子无拉力：

物理量的表示，即：$v$ 最小，$F_c$ 最小，$T$ 为 $0$。

故：

$$ \begin{aligned} mg&=m\frac{v^2}{r}\ v&=\sqrt{gr} \end{aligned} $$

性质：

• 在圆上一定满足提供了向心力 $F_r=\dfrac{mv^2}{r}$。

• 脱离的临界态：在圆上、无拉力弹力、向心方向恰好提供了 $F_r$。

• 脱离的瞬间重力与所在半径连线夹角 $cos\theta=\dfrac{v^2}{gr}$。

#杆模型

杆子可以提供最大为 $-mg$ 的力（表示为顶着物体）。

即，有最高点最小速度 $v=0$，杆子不受力 $v=\sqrt{gr}$。

最高点时，杆子的力可以向上、向下，因此记临界速度 $v_0=\sqrt{gr}$：

若 $v>v_0$ 则杆子对物体的力向下，若 $v<v_0$ 杆子对物体的力向上。

然后写牛二式子 $mg\pm T=m\dfrac{v^2}{r}$。

拉力的作用力范围为 $-\infty,mg$，以支持力为正。

#圆环模型

小球在圆环里面转圈，双环相当于杆，单环相当于绳。

注意到双环中，只可能两侧中的一侧受力，写牛二即可求 $T$。

#动能定理

重力做功等于动能变化量，最高点速度可以求出来。

那么就可以求出来最低点的速度以及绳子的拉力。

#绳子碰钉模型

一个绳子拴着小球，摆下来遇到钉子然后绕着更小的半径运动。

瞬间小球速度不变，忽略能量损耗，小球线速度 $v$ 始终不变。

• 根据 $displaystyle F=\dfrac{mv^2}{r}$，绳子拉力增大；

• 根据 $displaystyle\omega=\dfrac{v}{r}$，角速度增大；

• 根据 $a=v\omega$，加速度增大。

• 根据 $displaystyle T=\dfrac{2\pi}{\omega}$，周期减小。