#数列进阶

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#回顾及补充

#经典常量

$$\pi\approx3.14159$$ $$e\approx2.71828$$ $$\gamma\approx0.57721$$ $$\varphi={1+\sqrt5\over2}\approx1.61803$$ $$\hat\varphi={1-\sqrt5\over2}\approx-.61803$$

#基础公式

一些公式，

$$\sum_{i=1}^ni={n(n+1)\over2}$$ $$\sum_{i=1}^ni^2={n(n+1)(2n+1)\over6}={n(n+1/2)(n+1)\over3}$$ $$\sum_{i=1}^ni^3=\left[{n(n+1)\over2}\right]^2={n^2(n+1)^2\over4}$$

可以通过扰动法（见下）或者待定系数并归纳得出。

$$\sum_{i=0}^nc^i={c^{n+1}-1\over c-1},c\neq1$$ $$\sum_{i\ge0}c^i={1\over 1-c},|c|<1$$ $$\sum_{i\ge1}c^i={c\over 1-c},|c|<1$$

上面的是等比数列，下面的用极限得出。

$$\sum_{i=0}^nic^i={nc^{n+2}-(n-1)c^{n+1}+c\over(c-1)^2},c\neq1$$ $$\sum_{i\ge0}ic^i={c\over(1-c)^2},|c|<1$$

上面的可以扰动法得出，下面的极限得出。

#调和级数

$$H_n=\sum_{i=1}^n{1\over i}$$

有，

$$\ln n<H_n<\ln n+1$$ $$H_n=\ln n+\gamma+\mathcal O\left({1\over n}\right)$$

同时，

$$\sum_{i=1}^nH_i=(n+1)H_n-n$$ $$\sum_{i=1}^niH_i={n(n+1)\over2}H_n-{n(n-1)\over4}$$ $$\sum_{i=1}^n{i\choose m}H_i={n+1\choose m+1}\left(H_{n+1}-{1\over m+1}\right)$$

证明下面再说。

#欧拉公式

$$\def\ff#1{{1\over#1^2}} {\pi^2\over6}=\ff1+\ff2+\ff3+\ff4+\ff5+\dots$$ $$\def\ff#1{{1\over#1^2}} {\pi^2\over8}=\ff1+\ff3+\ff5+\ff7+\ff9+\dots$$

#组合数学

见我的排列组合笔记。

$$\def\qq{\quad} \begin{array}{c} 1\\ 1\qq1\\ 1\qq2\qq1\\ 1\qq3\qq3\qq1\\ 1\qq4\qq6\qq4\qq1\\ 1\qq5\qq10\qq10\qq5\qq1\\ 1\qq6\qq15\qq20\qq15\qq6\qq1\\ 1\qq7\qq21\qq35\qq35\qq21\qq7\qq1\\ 1\qq8\qq28\qq56\qq70\qq56\qq28\qq8\qq1\\ 1\qq9\qq36\qq84\qq126\qq126\qq84\qq36\qq9\qq1\\ 1\qq10\qq45\qq120\qq210\qq252\qq210\qq120\qq45\qq10\qq1\\ \end{array}$$

#线代基础

$$\left\lvert\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right\rvert=ad+bc$$ $$\det A=\sum_{\pi\in S_n}\operatorname{sgn}(\pi)\prod_{i=1}^na_{i,\pi(i)}$$