#三角函数题型

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#函数思想

#变角思想

在三角函数式的化简中，"次降角升"和"次升角降"是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次。其化简往往要遵循以下三个原则：

1. 一看"角"，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
2. 二看"函数名称"，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有"切化弦"等；
3. 三看"结构特征"，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如"遇到分式要通分"等。

我们知道单独考查三角函数式的化简是极少见的，绝大多数的化简其背后就是求值，常见的求值问题有：给值求值、给角求值、给值求角。

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三角函数：角为先，公式特征为要。

公式特征注意：用 $cos2\alpha$ 联系 $sin\alpha,\cos\alpha$。

$$ 4\sin\alpha\cos\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-(\sin\alpha-\cos\alpha)^2 $$

右图为这三者的转换关系。

$$ \left{ \begin{aligned} x&=\sin\alpha-\sin\beta\ y&=\cos\alpha-\cos\beta \end{aligned} \right. $$

根据上面的可以推出 $alpha,\beta$ 和差角的正余弦。

• 两式平方后作和、平方后作差。

• 两式相乘。

也可以换元，设 $t$ 为 $sin,\cos$ 等，将原式化为关于 $t$ 的二次函数或分式。

注意求区间上的值域，也可以结合不等式相关内容。

#一角一函数

一角一函数，可以简单的理解为 $y=A\sin(\omega x+\varphi$ 的形式。

即一个角在一个三角函数里，可以更好的求解。

#齐次思想

齐次思想，也可以归为次数的重要性。

三角函数中，弦为一次，切为零次，割为负一次。

例如对于求值类问题，升幂降角、降幂升角，是很关键的。

当一个式子中的函数次数仅为奇数后者偶数的时候，可以补充 $sin^2+\cos^2=1$ 齐次。

也可以结合弦化切，除以一个 $sin^2+cos^2$ 的若干次方。

当然也存在次数的奇偶性转化，例如：

$$ \sin-\cos=\pm\sqrt{(\sin^2-\cos^2)}=\pm\sqrt{1-2\sin\cos} $$

这种不常用，注意正负号。

#整体角思想

整体角，即将 $y=A\sin(\omega x+\varphi$ 中的 $omega x+\varphi$ 设为单独的变量如 $t$ 后进行解决的思想。

化为一角一函数后，用整体角结合三角函数性质进行快速解决。

根据整体角的范围，画出函数图像或者列出关于 $k,k\in\mathbb Z$ 的方程。

注意区间的开闭问题。

#弦化切思想

切化弦通常是很容易想到的，我们直接令：

$$ \tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $$

但是弦化切也有很大的用处，具体体现在：

• 将一个复杂的式子化为仅关于一个变量的式子。

• 对于某些求值类问题，可以使用正切半角公式（万能公式）。

#三角函数求参数

#参变分离思想

也就是主元思想的体现，将参数作为主元化简。

然后根据等式右侧的函数性质得到参数的特征。

也可以使用等式相当于左右两侧函数交点问题。

#不同参数的常见求法

对于：

$$ y=A\sin(\omega x+\varphi)+B $$

• $A$：振幅。

• $B$：极值。

• $omega$：周期。

• $varphi$：通常带入求解。

#根据周期长度解题

对于有多少零点的问题，可以在还原之前根据区间长度和周期长度得到一个大体的范围。

给定单调区间，首先可以写出，单调区间长度小于等于半周期，即：

$$ r_0-l_0\le\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega} $$

然后就可以在这个大体的范围内求解，如果不好求解也会方便枚举。

然后如果可以求出 $omega$ 的一些其他条件（比如奇偶性），直接求出来。

#已知起点终点

思想：复合函数、还原。

对于 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi$，我们令 $t=\omega x+\varphi$。

注意 $omega$ 的正负性，得出 $t$ 的取值范围，进行进一步求解。

比如，给定零点横坐标、对称轴，转化为：

$$ \omega x_0+\varphi=\lambda k\pi(+\pi/2) $$

未知 $varphi$：根据已知点或特殊信息（对称轴、对称中心）带入，列出方程组求出 $varphi$。

#未知起点终点

可以将问题再分为：正正、正负。

• 对于正负的，通常区间内存在一个已知点（$omega=0$），画图解题。

• 对于正正的，通常先用周期长度限制，然后列关于 $k$ 的式子。

特殊的，如果 $omega$ 的正负不确定，应当讨论 $operatorname{sgn}(\omega$。

#$varphi$ 未知求 $omega$

这一类问题通常比较难：

• 各种条件，先转化为区间长度，初步限制 $omega$ 的范围。

• 根据特殊信息，限制 $omega$ 的奇偶性等性质。

• 在独立的 $omega$ 取值中，一次判断是否满足条件。

比较难算。

#三角形中的三角函数

条件，在三角形中，有 $x+y+z=\pi$（三角形内角和），那么：

#正切恒等式

#形式一

$$ \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z $$

证明：

$$ \begin{aligned} \tan z&=\tan(\pi-x-y)=-\tan(x+y)\ \tan z&=-{\tan x+\tan y\over1-\tan x\tan y} \end{aligned} $$

下面的式子整理即可。

#形式二

$$ \tan{x\over2}\tan{y\over2}+\tan{y\over2}\tan{z\over2}+\tan{z\over2}\tan{x\over2}=1 $$

证明：

$$ \begin{aligned} \tan{z\over2}&=\tan\left({\pi\over2}-{x\over2}-{y\over2}\right)={1\over\tan({x\over2}+{y\over2})}\ \tan{z\over2}&={1-\tan{x\over2}\tan{y\over2}\over\tan{x\over2}+\tan{y\over2}} \end{aligned} $$

下面的式子整理即可。

#余切恒等式

#形式一

$$ \cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1 $$

证明：

根据 $displaystyle\tan\alpha={1\over\cot\alpha}$ 展开正切的形式一即可。

#形式二

$$ \cot{x\over2}+\cot{y\over2}+\cot{y\over2}=\cot{x\over2}\cot{y\over2}\cot{y\over2} $$

证明：

根据 $displaystyle\tan\alpha={1\over\cot\alpha}$ 展开正切的形式二即可。

#一倍角弦

#形式一

$$ \sin x+\sin y+\sin z=4\cos{x\over2}\cos{y\over2}\cos{z\over2} $$

证明：

$$ \begin{aligned} \sin x+\sin y&=2\sin{x+y\over2}\cos{x-y\over2}\ &=2\cos{z\over2}\cos{x-y\over2}\ \sin z&=2\sin{z\over2}\cos{z\over2}\ &=2\cos{z\over2}\cos{x+y\over2} \end{aligned} $$

然后加起来用和差化积公式即可。

#形式二

$$ \cos x+\cos y+\cos z=1+4\sin{x\over2}\sin{y\over2}\sin{z\over2} $$

证明：

$$ \begin{aligned} \cos z&=1-\sin^2{z\over2}\ &=1-\sin{z\over2}\cos{x+y\over2}\ \cos x+\cos y&=2\cos{x+y\over2}\cos{x-y\over2}\ &=2\sin{z\over2}\cos{x-y\over2} \end{aligned} $$

然后加起来用和差化积公式即可。

#二倍角弦

#形式一

$$ \sin2x+\sin2y+\sin2z=4\sin x\sin y\sin z $$

证明：

$$ \begin{aligned} \sin2z&=2\sin z\cos z\ &=-2\sin z\cos(x+y)\ \sin2x+\sin2y&=2\sin(x+y)\cos(x-y)\ &=2\sin z\cos(x-y) \end{aligned} $$

然后加起来用和差化积公式即可。

#形式二

$$ \cos2x+\cos2y+\cos2z=-1-\cos x\cos y\cos z $$

证明：

$$ \begin{aligned} \cos2z&=2\cos^2z-1\ &=-2\cos z\cos(x+y)-1\ \cos2x+\cos2y&=2\cos(x+y)\cos(x-y)\ &=-2\cos z\cos(x-y) \end{aligned} $$

然后加起来用和差化积公式即可。

#例题

#例题一

已知 $tan\beta$ 有意义，且 $sin(\alpha+\beta)={1\over2}$，$sin(\alpha-\beta)={1\over3}$，求 $dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta}$。

S1：和差恒等式

易得：

$$ \begin{cases} \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta={1\over2}\ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta={1\over3}\ \end{cases} $$

解得：

$$ \begin{cases} \sin\alpha\cos\beta={5\over12}\ \cos\alpha\sin\beta={1\over12}\ \end{cases} $$

易知：

$$ {\tan\alpha\over\tan\beta}={\sin\alpha\cos\beta\over\cos\alpha\sin\beta}={{5\over12}\over{1\over12}}=5 $$

S2：和差化积恒等式

易得：

$$ \begin{cases} \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta={1\over2}+{1\over3}={5\over6}\ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta={1\over2}-{1\over3}={1\over6} \end{cases} $$

易知：

$$ {\tan\alpha\over\tan\beta}={2\sin\alpha\cos\beta\over2\cos\alpha\sin\beta}={{5\over6}\over{1\over6}}=5 $$

#例题二

已知 $theta\in[0,2\pi$ 且 $sin(x+\theta$ 是偶函数，求 $theta$。

根据偶函数定义：

$$ \begin{aligned} \sin(x+\theta)=\sin(-x+\theta)\ \sin\theta\cos x+\cos\theta\sin x=\sin\theta\cos x-\cos\theta\sin x\ \cos\theta\sin x=0 \end{aligned} $$

因为 $x\in\mathbb R$，所以 $cos\theta=0$，即： $displaystyle\theta={\pi\over2}/{3\pi\over2}$。

知识点：偶函数、和差恒等式。

#例题三

求函数 $displaystyle g(x)=\sin^2\left(x+{\pi\over12}\right)+\sin^2\left(x+{\pi\over4}\right$ 的值域。

化简：

$$ \begin{aligned} &\sin^2\left(x+{\pi\over12}\right)+\sin^2\left(x+{\pi\over4}\right)\ =;&{1\over2}\left[1-\cos\left(2x+{\pi\over6}\right)+1-\cos\left(2x+{\pi\over2}\right)\right]\ =;&1-{1\over2}\left[\cos\left(2x+{\pi\over6}\right)+\cos\left(2x+{\pi\over2}\right)\right]\ =;&1-{1\over2}\left({\sqrt3\over2}\cos2x-{1\over2}\sin2x-\sin2x\right)\ =;&1+{1\over4}\left(3\sin2x-\sqrt3\cos2x\right)\ =;&1+{\sqrt3\over2}\sin\left(2x-{\pi\over6}\right)\end{aligned} $$

然后就忒简单了，答案是，函数 $g$ 的值域为 $displaystyle\left[1-{\sqrt3\over2},1+{\sqrt3\over2}\right$。

知识点：函数、和差恒等式、降次公式、辅助角公式。

另外：最后辅助角公式的应用中，$arctan b/a$ 可以不用算出来，因为 $x$ 属于实数域，$sin$ 函数里面一定是任何一个实数都取得到，直接取 $r=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt3$ 即可得出答案。

#例题四

求值：

$$ \cos20\degree\cos40\degree\cos80\degree $$

答案：

$$ \begin{aligned} S&=\dfrac{1}{\sin20\degree}\sin20\degree\cos20\degree\cdot\cos40\degree\cos80\degree\ &=\dfrac{1}{2\sin20\degree}\sin40\degree\cos40\degree\cdot\cos80\degree\ &=\dfrac{1}{4\sin20\degree}\sin80\degree\cos80\degree\ &=\dfrac{1}{8\sin20\degree}\sin160\degree=\dfrac{1}{8} \end{aligned} $$

本质是角的变换。

#例题五

求值：

$$ \sin10\degree+\dfrac{\sqrt3}4\tan10\degree $$

答案：

$$ \begin{aligned} S&=\dfrac{4\sin10\degree\cos10\degree+\sqrt3\sin10\degree}{4\cos10\degree}\ &=\dfrac{2\sin(30\degree-10\degree)+\sqrt3\sin10\degree}{4\cos10\degree}\ &=\dfrac{\cos10\degree}{4\cos10\degree}=\dfrac14 \end{aligned} $$

本质也是角的变换。