#数系与复数

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#虚数与复数

#虚数定义

虚数 $i$ 为一个定义为

$$ i^2+1=0 $$

的一个解，其满足上式的性质，又可表示为，

$$ i^2=-1 $$

虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统 $mathbb R$ 延伸至复数系统 $mathbb C$。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解，可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。

我们回到原问题，

$$ x^2+1=0 $$

存在两个根，分别为，$i$ 和 $-i$，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。

这是因为，虽然 $i$ 和 $-i$ 在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），

但是 $i$ 和 $-i$ 之间没有质量上的区别（$-1$ 和 $+1$ 就不是这样的）。

在任何的等式中同时将所有 $i$ 替换为 $-i$，该等式仍成立。

$$ -i^2=1,-i={1\over i} $$

例题：考虑 $-5$ 的平方根。

$$ x^2+5=0\ x=\pm\sqrt5 i $$

另外，虚数单位同样可以表示为，

$$ i=\sqrt{-1} $$

但是我们对负数开根号没有自然的定义，因此我们也可以定义，

$$ i=-\sqrt{-1} $$

因此，这往往被认为是错的，因为，

$$ -1=i^2=\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)> \times(-1)}=1\ -1=i^2=\pm\sqrt{-1}\times\pm\sqrt{-1}=\pm1 $$

这是显然不对的，因为 $sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ 需要满足 $a,b>0$。

使用这种记法时需要非常谨慎，有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。

但是我们也可以总结出一些有意义的法则，对于负数 $x$，

$$ \sqrt x=\sqrt{-x}i $$

例如，

$$ \sqrt{-7}=\sqrt7 i $$

或者说，对于正数 $y$，

$$ \sqrt{-y}=\sqrt yi $$

因为，

$$ (\sqrt{-y})^2=-y $$

成立，这是良好定义的。

对于虚数，存在与实数不同的一些运算法则，对于负数 $x,y$，

$$ \sqrt x\sqrt y=\sqrt{-x}i\times\sqrt{-y}i=-\sqrt{xy} $$

$$ {\sqrt x\over\sqrt y}={\sqrt{-x}i\over\sqrt{-y}i}=\sqrt{-x\over-y} $$

不同的虚数都是不能比较大小的，因此虚数也没有正负（但是存在记号）。

如果再将虚数的这个概念扩展开去，就可以组成四元数、八元数等特殊数学范畴。

#复数定义

复数，为实数的延伸，它使任一多项式方程都有根。

形式上，复数系统可以定义为普通实数的虚数 $i$ 的代数扩展。

复数通常写为如下形式：

$$ z=a+bi $$

这里的 $a$ 和 $b$ 是实数，而 $i$ 是虚数单位，

• 实数 $a$ 叫做复数的实部，记为 $Re(z$ 或 $operatorname{Re} z$。

• 实数 $b$ 叫做复数的虚部，记为 $Im(z$ 或 $operatorname{Im} z$。

我们有额外定义，

• 实部为零且虚部不为零的复数也被称作「纯虚数」，即 $0+bi$。

• 而实部不为零且虚部也不为零的复数也被称作「非纯虚数」或「杂虚数」。

而实数可以被认为是虚部为零的复数，就是说实数 $a$ 等价于复数 $a+0i$。

所有复数的集合通常指示为 $mathbb C$（黑板粗体），实数 $mathbb R$ 可以被当作 $mathbb C$ 的子集。

我们有很多虚数中类似的性质，比如继承虚数的不可比大小，只可比相等为，

两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。

#二元运算

当计算一个表达式时，只需假设 $i$ 是一个未知数，替代 $i^2$ 为 $-1$ 即可。

对于 $i$ 的更高整数次幂，可以按照如下规则替换，

$$ i^2=-1\ i^3=i^2\times i=-i\ i^4=i^3\times i=-i^2=1\ i^5=i^4\times i=i $$

我们归纳为，

$$ \begin{aligned} i^0&=1\ i^1&=i\ i^2&=-1\ i^3&=-i\ i^n&=i^{n\bmod 4} \end{aligned} $$

由此，可以很好的定义虚数的负指数次方。

我们继续继承虚数的性质，将 $i$ 仅仅看为未知数，用上文的替代即可。

容易发现，复数的运算类似于多项式的运算，有：

$$ (a+bi)\pm(c+di)=(a+c)\pm(b+d)i $$

$$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i $$

除法暂不了解。容易推导，复数运算存在，

另外还有分配律：$a \times (b+c) = a \times b + a \times c$。

因此，复数数系是一个域，

复数可定义为实数 $a,b$ 组成的有序对，

• $a,b)+(c,d)=(a+c,b+d$.

• $a,b)\times(c,d)=(ac-bd,bc+ad$.

• 加法单位元（零元）：$0,0$.

• 乘法单位元（幺元）：$1,0$.

• $a,b$ 的加法逆元：$-a,-b$.

#复数开根

我们有，

$$ \sqrt i={1+i\over\sqrt2}={\sqrt2\over2}(1+i) $$

因为，两边平方，

$$ 2i=i^2+2i+1=2i $$

在此仅做补充，

$$ \sin i={e^2-1\over2e}i $$

$$ \cos i={e^2+1\over2e} $$

补充：在某些学科中，也用 $j$ 表示虚数单位，避免与电流 $i(t$ 混淆。

容易知道，$1$ 的 $n$ 次方根就是将单位圆均分为 $n$ 份，也就是

$$ \xi_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n},k\in{0,1,\dots,n-1} $$

我们称 $xi_0,\xi_1,\dots,\xi_{n-1}$ 为 $n$ 次单位根，由定义都满足 $xi_i^n=1$

其中 $xi_0=1$，也就是实数情况下的平凡解。

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根据恒等式：

$$ x^n-1=(x-1)\big(x^{,n-1}+x^{,n-2}+\cdots+1\big) $$

只要 $k\ne 0$，就有 $xi_k\ne 1$，这样，

$$ 0=\xi_k^{,n}-1=(\xi_k-1)\big(\xi_k^{,n-1}+\xi_k^{,n-2}+\cdots+1\big) $$

得到

$$ \xi_k^{,n-1}+\xi_k^{,n-2}+\cdots+1=0 $$

特别地，令 $k=1$，得到

$$ \xi^{,n-1}+\xi^{,n-2}+\cdots+1=0 $$

由 $xi_k=\xi^k$，这个式子用求和符号表示就是

$$ \sum_{k=0}^{n-1}\xi_k=0 $$

#复平面

#复平面

在几何上，我们：

将平面直角坐标系的水平轴（x-axis）用于实部，垂直轴（y-axis）用于虚部，

则，虚数 $a+bi$ 对应的点就是 $a,b$；虚部为零的复数可以看作是实数。

容易发现，这一操作是更加直观的将实数数值拓展的过程，我们称为复平面。

复平面有时也叫做阿尔冈平面，因为它用于阿尔冈图中。

注意到，我们这么表示出来的复数的点，也可以用位置向量 $overrightarrow{OZ}=(\Re z,\Im z$ 表示，

但是，虚数的运算不完全遵守其直观的位置向量的运算，尤其是乘法。

#模长幅角

有了上面的基础（以及图），我们容易定义，

$$ r=|z|=|\overrightarrow{OZ}|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\Re^2z+\Im^2z} $$

这就是复数的模，也称为绝对值。

于是，我们有计算方法，

$$ |zw|=|z||w| $$

$$ \left|{z\over w}\right|={|z|\over|w|} $$

以及三角形不等式，

$$ |z|-|w|\le|z+w|\le|z|+|w| $$

以及我们可以定义距离，

$$ \operatorname{dist}(z,w)=|z-w|=|w-z| $$

而幅角定义为位置向量与 $x$ 轴的夹角，一般用 $varphi$ 表示。

幅角的具体计算方式略，通用公式比较复杂。

我们知道一个位置的角可以有无数种表示方向（$+2\pi$），而，

因此，定义辐角主值为，幅角的所有表示方式中，属于 $-\pi,\pi$ 的一个。

有时也用 $0,2\pi$ 来表示，以避免出现负数。

#共轭复数

我们类似共轭根式的，定义共轭复数，

$$ a+bi,a-bi $$

互为共轭复数，记为 $overline z$，可以用于分式化简（分母实数化），

$$ (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2 $$

于是，我们知道，共轭复数本质是关于实数轴的对称点。

有性质，

$$ \overline{z+w}=\overline z+\overline w $$

$$ \overline{zw}=\overline z\cdot\overline w $$

$$ \overline{\overline z}=z,|\overline z|=|z| $$

其中，$overline z=z$ 当且仅当 $z$ 是实数。

#几何解释

复平面的想法提供了一个复数的几何解释。

在加法下，类似向量相加，可以用三角形法则或平行四边形法则。

在乘法下，复数的成绩与向量乘法不同，它更加简洁的定义为，

乘积的模长是两个模长的乘积，乘积的辐角是两个辐角的和。

特别地，用一个模长为 $1$ 的复数相乘即为一个旋转，最常见的，

• 乘以 $1$ 相当于不变。
• 乘以 $i$ 相当于逆时针旋转 $90^\circ$.
• 乘以 $-1$ 相当于逆时针旋转 $180^\circ$.
• 乘以 $-i$ 相当于逆时针旋转 $270^\circ$（顺时针 $90^\circ$）.

而上文已经说了，共轭根式本质是关于实数轴的对称点。

• $|z|=r\implies z$ 在复平面内对应点的集合是以原点为圆心，$r$ 为半径的圆。

  $|z-z_1|=r\implies z$ 在复平面内对应点的集合是以 $z_1$ 在复平面内的对应点为圆心，$r$ 为半径的圆。

  $|z-z_1|=|z-z_2|\implies z$ 在复平面内对应点的集合是 $Z_1,Z_2$ 为端点的线段的中垂线。

• 设复数 $z_1,z_2,z_1+z_2$ 在复平面内对应点为 $A,B,C$，结合平面向量的基本运算。

  $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\implies$ 四边形 $text{OACB}$ 为矩形。

  $|z_1|=|z_2|\implies$ 四边形 $text{OACB}$ 为菱形。

  $|z_1|=|z_2|$ 且 $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\implies$ 四边形 $text{OACB}$ 为正方形。

#复数运算

#CIS 函数

纯虚数指数函数，正如标题所说，记为，

$$ \operatorname{cis}x=\cos x+i\sin x $$

这个 $operatorname{cis}$ 函数（COSINE PLUS I SINE）主要的功能为简化某些数学表达式，使更简便地表达。

#欧拉公式

经典公式，

$$ e^{ix}=\cos x+i\sin x $$

或者，

$$ e^{ix}=\operatorname{cis}x $$

取 $x=\pi$ 时，即著名的欧拉恒等式，

$$ e^{i\pi}+1=0 $$

这公式可以说明当 $x$ 为实数时，函数 $e^{ix}$ 可在复数平面描述一单位圆。

欧拉公式则提供了，将负数从平面直角坐标系中，变换到极坐标系的理论。

但是我们不讨论极坐标系；我们可以得出两个经典公式，

$$ \sin x={e^{ix}-e^{-ix}\over 2i} $$

$$ \cos x={e^{ix}+e^{-ix}\over2} $$

下面更复杂的我们就不讨论了。

#棣莫弗公式

也是一个经典公式，

$$ (\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx) $$

或者表示为，

$$ \operatorname{cis}^nx=\operatorname{cis}(nx) $$

在操作上，我们常常限制 $x\in\mathbb R,n\in\mathbb Z$，但是更复杂的也存在类似的公式。

最简单的检验方法是应用欧拉公式，

$$ \def\cis{\operatorname{cis}} \cis^nx=e^{inx}=\cis(nx) $$

#复数与方程

#二次方程

对于方程 $ax^2+bx+c=0$（$a,b,c\in C,a\neq 0$），配方得到：

$$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} $$

如果限定系数范围为 $a,b,c\in R$，那么

1. 若 $b^2-4ac>0$，方程有两个不相等的实根；

   $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

2. 若 $b^2-4ac=0$，方程有两个相等的实根；

   $$ x=\frac{-b}{2a} $$

3. 若 $b^2-4ac<0$，方程有两个共轭虚根：

   $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2},i}{2a} $$

#高次方程

代数基本定理：任何一元 $n(n \in \mathbb{N}^*$ 次复系数多项式方程 $f(x)=0$ 至少有一个复数根。

设 $a$ 为复数，$f(x$ 为复系数多项式，因式定理有：$a$ 为 $f(x$ 的根当且仅当 $x-a$ 为 $f(x$ 的一个因式。

若正整数 $k$ 满足 $x-a)^k$ 为 $f(x$ 的因式，但 $x-a)^{k+1}$ 不为 $f(x$ 的因式，则称 $a$ 为 $f(x$ 的 $k$ 重根。二重及以上的根称为重根。

这样，就能由上面两个定理得到推论：任何一元 $n(n \in \mathbb{N}^*$ 次复系数多项式方程 $f(x)=0$ 都有 $n$ 个复数根（重根按重数计，即把 $k$ 重根当作 $k$ 个根来计）。

把重根合到一起就得到唯一分解定理：任何一元 $n(n \in \mathbb{N}^*$ 次复系数多项式都可唯一地表示为

$$ f(x)=a\prod_{k=1}^m (x-a_k)^{f_k} $$

其中 $a, a_1, \dots, a_m \in \mathbb{C}$，$f_1, f_2, \dots, f_m \in \mathbb{N}^*$，满足 $sum_{k=1}^m f_k=n$。

这样，设 $f(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k (a_n \ne 0$ 的根为 $x_1, x_2, \dots, x_n$，$f(x$ 就可以表示成：

$$ f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n) $$

展开多项式就能得到韦达定理：

$$ \sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}, k=1, 2, \dots, n $$

对于实系数多项式，即系数都是实数的多项式，有虚根成对定理：若复数 $a$ 是实系数多项式 $f(x$ 的根，则 $bar{a}$ 也是 $f(x$ 的根。

这样，实系数多项式的根，除去实根以外，就都是成对的共轭复数。一元 $n(n \in \mathbb{N}^*$ 次实系数多项式就能在实数范围内分解为：

$$ f(x)=a \prod_{k=1}^s (x-a_k) \cdot \prod_{k=1}^t (x^2+b_k x+c_k) $$

其中 $a, a_k, b_k, c_k \in \mathbb{R}$，$s+2t=n$，且 $c_k > 0$，$b_k^2 < 4c_k$。