#均值不等式

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#简单不等式

#一般不等式

糖水不等式：

$$ a>b>0,m>0\implies\dfrac{b+m}{a+m}>\dfrac{b}{a} $$

不等式加法：

$$ a>b,c>d\implies a+c>b+d $$

不等式减法：

$$ a>b,c<d\implies a-c>b-d $$

不等式联立：

$$ \begin{cases} a_1<x+y<a_2\ b_1<x-y<b_2 \end{cases}\implies\begin{cases} a_1+b_1<2x<a_2+b_2\ a_1-b_1<2y<a_2-b_2 \end{cases} $$

等式的性质​：

• $a=a$（自反性）
• ‌$a=b\Rightarrow b=a$（对称性）
• $a=b,b=c\Rightarrow a=c$（传递性）
• $a=b\Rightarrow a\pm c=b\pm c,ac=bc,\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$（$c\neq 0$）（替代性）
• 替代性：如果两个对象相等，那么在任何出现它们的位置，都可以用一个替代另一个，等式仍然成立。

不等式的性质​：

• $a>b\Rightarrow b<a$（对称性）
• $a>b,b>c\Rightarrow a>c$（传递性）
• $a>b\Rightarrow a\pm c>b\pm c$
• $a>b,c>0\Rightarrow ac>bc,c<0\Rightarrow ac<bc$
• $a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$（加法单调性）
• $a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$（乘法单调性）
• $a>b>0,n>0\Rightarrow a^n>b^n,n<0\Rightarrow a^n<b^n$

常用技巧​：

• 减法可以转化为加法：$a-b=a+(-b$，而除法可以转化为乘法：$frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}$。
• 比较两个正数 $a,b>0$ 的常用方法：通过做差比较 $a-b$ 与 $0$ 的关系；通过做商比较 $frac{a}{b}$ 与 $1$ 的关系。

#重要不等式

$$ a^2+b^2\ge2ab $$

当且仅当 $a=b$ 成立。

例题：证明 $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$。

对 $ab,bc,ca$ 列出重要不等式，各式相加即可得到。

#高次不等式

穿根法。

• 因式分解，做数轴标根。

• 偶数次不穿过数轴，结果抠点。

• 分式不等式分解因式后当做乘法（两边同乘分母的平方），扣去无意义的点。

#绝对值不等式

如果对于任意 $x$ 都有 $|f(x)|<g(x$，则

$$ -g(x)<f(x)<g(x) $$

对千绝对值不等式，更多的是分类讨论去掉绝对值，结论本身并不重要。

• 函数 $f(x)=|x-m|+|x-n|(m<n$ 的图像是以点 $A(m, n-m$，$B(n, n-m$ 为折点的倒梯形；$f(x$ 在 $-\infty, m$ 上单调递减，在 $n, +\infty$ 上单调递增，在 $m,n$ 上无单调性，此时 $f(x$ 恒等于其最小值 $n-m$；$f(x$ 在 $mathbb{R}$ 上无最大值，其对称轴为 $x=\dfrac{m+n}{2}$。

• 当 $m > n$ 时，$f(x) = |x-m| - |x-n|$ 的图像是以点 $A(n, m-n$，$B(m, n-m$ 为折点的"Z 字形"；在 $-\infty, n$ 上函数恒取得最大值 $m-n$，在 $m, +\infty$ 上函数恒取得最小值 $n-m$；函数在 $n, m$ 上递减，其对称中心为 $left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right$。

• 当 $n > m$ 时，$f(x) = |x-m| - |x-n|$ 的图像是以点 $A(m, m-n$，$B(n, n-m$ 为折点的"反 Z 字形"；在 $-\infty, m$ 上函数恒取得最小值 $m-n$，在 $n, +\infty$ 上函数恒取得最大值 $n-m$；函数在 $m, n$ 上递增，其对称中心为 $left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right$。

$a|x-m|+b|x-n|(m<n$ 的图像是以 $A(m, f(m$，$B(n, f(n$ 为折点的折线。

• 当 $a+b>0$ 时，两端向上无限延伸，故有最小值，最小值为 $min{f(m), f(n)}$；
• 当 $a+b<0$ 时，两端向下无限延伸，故有最大值，最大值为 $max{f(m), f(n)}$；
• 当 $a+b=0$ 时，两端无限延伸且平行于 $x$ 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 $max{f(m), f(n)}$，最小值为 $min{f(m), f(n)}$。

更复杂的，$f(x) = |x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x-a_n|$（$a_i \in \mathbb{R}, i, n \in \mathbb{N}^*$, 设 $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$）。

• 若 $n=2k-1(k \in \mathbb{N}^*$，则 $f(x$ 的图像是以 $a_k, f(a_k$ 为顶点的"V 字形"图像。

  • 当且仅当 $x=a_k$ 时，$f(x)]{\min} = |(a_1 + a_2 + \cdots + a{k-1}) - (a_{k+1} + a_{k+2} + \cdots + a_{2k-1})|$；

  • 函数 $f(x$ 在 $-\infty, a_k$ 上单调递减，在 $a_k, +\infty$ 上单调递增，若 ${a_i}$ 为等差数列，则图像关于 $x=a_k$ 对称。

• 若 $n=2k(k \in \mathbb{N}^*$，则 $f(x$ 的图像是以点 $A(a_k, f(a_k$, $B(a_{k+1}, f(a_{k+1}$ 为折点的倒梯形。

  • 当且仅当 $x \in [a_k, a_{k+1}$ 时，$f(x)]{\min} = |(a_1+a_2+\cdots+a_k) - (a{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{2k})|$；

  • 函数 $f(x$ 在 $-\infty, a_k$ 上单调递减，在 $a_{k+1}, +\infty$ 上单调递增，在 $a_k, a_{k+1}$ 上无单调性。若 ${a_i}$ 为等差数列，则函数图像关于 $x=\dfrac{a_k+a_{k+1}}{2}$ 对称。

#三角不等式

$$ ||a|-|b||\le|a\pm b|\le|a|+|b| $$

#均值不等式

#二元形式

若 $a,b>0$，则：

$$ \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\sqrt[2]{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt[2]{\dfrac{a^2+b^2}{2}} $$

理解方式：https://www.bilibili.com/video/BV1Nf4y1G7xV/。

#多元形式

若 $a,b>0$，则：

$$ \begin{aligned} H_n&\le&G_n&\le&A_n&\le&Q_n\ \frac{n}{\sum_{i=1}^n{1\over x_i}}&\le&\sqrt[n]{\textstyle\prod_{i=1}^nx_i}&\le&\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}&\le&\sqrt[2]{\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{n}} \end{aligned} $$

当且仅当 $x_1=x_2=\dots=x_n$ 时，等号成立。

即，对于正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。

简记为：「调几算方」。

我们称两两为 X-Y 均值不等式，例如算数-几何均值不等式：

$$ \sqrt[n]{x_2x_2\dots x_n}\le\dfrac1n(x_1+x_2+\dots+x_n) $$

可以进行推广，得到加权平均不等式：

$$ x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\dots x_n^{\lambda_n}\le\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots+\lambda_nx_n $$

其中 $x_1,x_2,\dots,x_n>0$，$lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n>0$ 且 $lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=1$。

#对勾函数

对于定义在 $R-{0}$ 的函数

$$ f(x)=ax+\dfrac{b}{x} $$

设 $x_0$ 满足

$$ ax_0=\dfrac{b}{x_0} $$

即

$$ x_0^2=\dfrac{b}{a} $$

不妨取正的一个解（同时 $f(x)=f(y$ 当且仅当 $xy=\dfrac{b}{a}$）。

容易知道，$f(x$ 在 $0,x_0$ 单调递减，在 $x_0,+\infty$ 单调递增。

在负半轴类似，同时因为在正半轴

$$ f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ge2\sqrt{ab} $$

也就是说 $f(x$ 的值域是 $-\infty,-2\sqrt{ab})\cup(2\sqrt{ab},+\infty$。

#常用变形

均值不等式的本质是

$$ f(x)=\sqrt[x]{\dfrac{a^x+b^x}{2}} $$

在 $R$ 上单调递增（其中 $0$ 可去间断）。

关于 $ab$（$a,b\in\R$）：

$$ ab\le\dfrac14(a+b)^2\le\dfrac12(a^2+b^2) $$

关于 $a^2+b^2$（$a,b\in\R$）：

$$ a^2+b^2\ge\dfrac12(a+b)^2\ge2ab $$

关于 $a+b$（$a,b,\in\R_+$）：

$$ 2\sqrt{ab}\le a+b\le\sqrt{2(a^2+b^2)} $$

关于 $sqrt a+\sqrt b$（$a,b,\in\R_+$）：

$$ \sqrt{a}+\sqrt b\le\sqrt{2(a+b)} $$

关于 $sqrt{ab}$（$a,b,\in\R_+$）：

$$ \dfrac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}\le\dfrac14(\sqrt a+\sqrt b)^2\le\dfrac12(a+b)\le\sqrt{\dfrac12(a^2+b^2)} $$

关于 $dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$（$a,b,\in\R_+$）：

$$ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac2{\sqrt{ab}}\ge\dfrac4{a+b} $$

关于 $dfrac1{\sqrt{a}}+\dfrac1{\sqrt{b}}$（$a,b,\in\R_+$）：

$$ \dfrac{1}{\sqrt a}+\dfrac{1}{\sqrt b}\ge\dfrac4{\sqrt a+\sqrt b}\ge\dfrac8{a+b} $$

积定和最小，和定积最小。

若缩放所得上下界有未知数，则缩放失效。

#做题方法

#基本规则

基本不等式的求最值一定要满足"一正、二定、三相等"，即先判定正负性，然后判断放缩后是否为定值，最后验证取等条件。

如果不是定值，通常会导致最值不在缩放的点上，我们可以复杂，对于缩放问题，就不需要是定值了。

例题：若实数 $a,b$ 满足 $dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\sqrt{ab}$，则 $ab$ 的最小值为

我们知道

$$ \sqrt{ab}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{2}{ab}} $$

因此

$$ ab\ge2\sqrt2 $$

当且仅当 $b=2a$ 时取等。

利用基本不等式求函数 $f(x$ 的最大值通常有三种途径：

1. 直接利用均值不等式放缩成 $f(x) \le k$，其中 $k$ 为常数，最后检查等号能否成立；

2. 直接利用均值不等式放缩成 $f(x) \le g(x$，然后通过解不等式获得 $f(x$ 的范围，最后检查等号能否成立。

3. 多次利用均值不等式放缩成 $f(x) \le g(x) \le k$，其中 $k$ 为常数，最后检查所有等号成立的条件是否一致。

自由变量公式：

• 自由变量的个数等千变堂的个数减去方程的个数。

• 使用基本不等式的次数等于自由变霆的个数。

#一的代换

凑系数、换元法是最基础的方法，除此之外，我们还有妙用：

• 若已知 $ax+by$ 为定值，求它们的倒数和 $dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y}$ 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用"1"的代换，但是我们推荐使用"1"的代换；

• 若已知 $dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y}$ 为定值，求和 $ax+by$ 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用"1"的代换，但是我们推荐使用"1"的代换；

• 若已知 $axy+bx+cy+d=0$，求和 $ex+fy$ 的最小值，如果分解因式很显然，使用"1"的代换；否则，使用消元法。

具体的，例如已知 $ax+by=C$，则

$$ \begin{aligned} \dfrac{c}{x}+\dfrac{d}{y}&=\dfrac{1}{C}(ax+by)\paren{\dfrac{c}{x}+\dfrac{d}{y}}\ &=\dfrac{1}{C}\left(ac+bd+ad\dfrac{x}{y}+bc\dfrac{y}{x}\right)\ &\ge\dfrac{1}{C}\left(ac+bd+2\sqrt{ad\cdot bc}\right)\ &=\dfrac{1}{C}\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\ \end{aligned} $$

当 $x,y>0$ 时，等号当且仅当 $ad\dfrac{x}{y}=bc\dfrac{y}{x}$ 即 $dfrac{x}{y}=\sqrt{\dfrac{bc}{ad}}$。

#简单变形

最常见的方法是分母不变，其他拼凑

$$ x+\dfrac{3}{x-2}=x-2+\dfrac{3}{x-2}+2\ge\dots $$

$$ x+\dfrac{3}{2x-3}=x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{2x-3}+\dfrac{3}{2}\ge\dots $$

如果分子的次数比分母高，通常把上面的先分下来，称为分离常数。

对于积的不等式，通常用调整常数

$$ x(1-3x)=3x(1-3x)\cdot\dfrac13 $$

形如 $ab=a+b$ 的，通常转化为

$$ 1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} $$

#加权待定

我们知道了 $f(x)=\ln x$ 与 $g(x)=\dfrac{2(x-1)}{x+1}$ 和 $h(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right$ 的关系，那么不妨讨论 $f(x$ 与

$$ \varphi(x)=\lambda g(x)+(1-\lambda)h(x) $$

的关系，对 $y=\ln x-\varphi(x$ 求导即可，此处略。

我们知道高中常见的均值不等式链：

$$ \dfrac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}<\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}<\dfrac{a^2+b^2}{a+b} $$

此处不写等号因为对数平均数部分没有办法取等。

另外还有

$$ \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2ab}{a+b} $$

$$ \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{ab} $$

$$ \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{2}{3}\cdot\sqrt{ab} $$

等形式，都可以用加权待定来理解。

• 在 $x\in(1,+\infty$，

  $$ \small\frac{x-1}{x}<\frac{2(x-1)}{x+1}<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\ln x<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<x-1 $$

• 在 $x\in(0,1$，

  $$ \small\frac{x-1}{x}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\ln x<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\frac{2(x-1)}{x+1}<x-1 $$

#一些例题