动力学模型

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动力学模型

晾衣绳模型

等腰三角形、晾衣杆问题，特征为动滑轮通过刚性轻绳固定，有公式：

$$ F=\dfrac{G}{2\cos\theta} $$

特征；$F$ 仅与 $theta$ 有关，上下移动绳子端点力不变，端点水平靠近拉力下降、远离拉力上升。

物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种。

弹簧突变

因为弹簧的弹力无法突变，因此我们：

受力分析初状态，得出弹簧弹力。
把弹簧弹力当做外力，重新受力分析。

沿绳方向速度、受力大小一定相等。

斜面模型

斜面模型「物体是否会下滑」，设斜面与水平面夹角为 $theta$：

受力分析，得 $G_x=mg\sin\theta$，$f=\mu mg\cos\theta$。

若物体下滑：$G_x>f \Rightarrow G_x/f>1 \Rightarrow \tan\theta/\mu>1 \Rightarrow \tan\theta>\mu$。
同理，若物体静止不动，$G_x\le f \Rightarrow \tan\theta\le\mu$。

即，若 $tan\theta>\mu$，物体会下滑。

同时也可以根据此探究动摩擦因数 $mu=\arctan\theta$。

直角劈模型

注意物体的位置应该在惯性系中表示，否则应用牛顿定律会产生麻烦。

根据已知常量列出方程，例如绳长不变，绳子切面速度相同，以及对应的加速度关系。

典例是直角劈模型，有 $theta$ 角度的直角劈，一木块放在上面，则：

直角劈模型

其中 $V$ 和 $A$ 为劈的速度和加速度，$x$ 为木块相对参考系的水平位移，$X$ 为木块相对参考系的水平位移，$h-y$ 为木块滑下的竖直高度：

$$ \begin{aligned} (x-X)=(h-y)\cot\theta\ v_x-V=-v_y\cot\theta\ a_x-A=-a_y\cot\theta \end{aligned} $$

上式从上到下，实为对方程两边做一次时间变化率，常数项忽略，常数系数不变。

注意：约束方程与作用力无关，各接触面有无摩擦不影响约束方程。

狭义连接体模型

整体法可求得加速度。

隔离法可求得压力／绳子拉力，也可以整体一部分物体。

如果绳子是弯的，那么直接两次隔离把力约掉算加速度。

可以得出，绳子拉力与斜面夹角、摩擦因数均无关：

$$ T=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F $$

这个公式可以成为连接体的质量分配原则，其中 $1$ 是绳子没有直接拉着的那个物体。

推广：如果两个物体两侧分别拉着（$F_1$ 拉质量为 $m_1$ 的物体，$F_2$ 对于 $m_2$）：

$$ T=\dfrac{F_1m_2+F_2m_1}{m_1+m_2} $$

即总是一个力乘上没有直接连接的物体。

等时圆模型

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质点自半径为 $R$ 的空心球（对于平面而言是圆环）的最高点由静止开始无摩擦地沿任一弦下滑至球面（或圆环），所需时间相等，且等于：

$$ \sqrt{\dfrac{4R}{g}} $$

证明：

设下滑的弦与法线的夹角为 $beta$，则弦长：

$$ l=2R\cos\beta $$

沿弦方向加速度为：

$$ a=g\cos\beta $$

列运动学方程：

$$ \begin{aligned} l&=\dfrac{1}{2}at^2\ 2R\cos\beta&=\dfrac{1}{2}(g\cos\beta)t^2 \end{aligned} $$

易得 $t$ 与 $beta$ 无关，且：

$$ t=\sqrt{\dfrac{4R}{g}} $$

经典例题：

一小球从角度为 $alpha$ 的斜面上某一点的上方 $l$ 处沿某一直线无摩擦的滑下，问落到斜面上的最短时间。

由上面的结论，最佳下落线与法线的夹角 $theta=\alpha/2$。

易知，该圆的直径（$Q$ 为圆与斜面的切点，$H$ 为最高点到斜面的垂足）：

$$ 2R=\dfrac{OQ}{\cos\theta}=\dfrac{OH}{\cos^2\theta}=\dfrac{l\cos\alpha}{\cos^2(\alpha/2)} $$

则：

$$ R=\dfrac{l\cos\alpha}{1+\cos\alpha} $$

则最短时间：

$$ t=\sqrt{\dfrac{4R}{g}}=2\sqrt{\dfrac{l\cos\alpha}{g(1+\cos\alpha)}} $$

等时圆的构造：

设定一点为最高点或最低点即可，根据几何关系得到距离圆心的距离。

最速降线问题

在平面内，$B$ 点在 $A$ 右下，自 $A$ 静止释放一个小球，运动到 $B$ 点的最短时间。

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伯努利（哥哥和弟弟分别）证明了最速降线是一条摆线。

传送带和板块模型

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例题1：质量为 $2\text{kg}$ 的物体沿光滑斜面下滑，斜面与水平面的夹角为 $37^\circ$，求木块的加速度。

列式：

$$ \begin{cases} F_r&=ma\ F_r&=G\sin37^\circ\ G&=mg\ m&=2\text{kg} \end{cases} $$

解得：

$$ \begin{cases} m&=2&\text{kg}\ G&=20&\text{N}\ F_r&=12&\text{N}\ a&=6&\text{m/s}^2\ \end{cases} $$

所以，加速度为 $6\text{m/s}^2$，方向沿斜面向下。

例题2：质量为 $2\text{kg}$ 的物体沿斜面下滑，斜面的摩擦因数为 $0.2$，斜面与水平面的夹角为 $37^\circ$，求木块的加速度。

列式：

$$ \begin{cases} F_r&=ma\ F_r&=G\sin37^\circ-f\ f&=\mu N\ N&=G\cos37^\circ\ G&=mg\ m&=2\text{kg} \end{cases} $$

解得：

$$ \begin{cases} m&=2&\text{kg}\ G&=20&\text{N}\ N&=16&\text{N}\ f&=3.2&\text{N}\ F_r&=8.8&\text{N}\ a&=4.4&\text{m/s}^2\ \end{cases} $$

所以，加速度为 $4.4\text{m/s}^2$，方向沿斜面向下。

例题3：质量为 $2\text{kg}$ 的物体静止于水平面的 $A$ 处，$AB$ 间距 $L=20\text{m}$，如图：

$$ \begin{matrix} \underline{\kern{1em}\Box\kern{7em}\Box\kern{1em}}[-0.8em] \cdot\kern{7.5em}\cdot[-0.4em] {\small{A}}\kern{7em}{\small{B}} \end{matrix} $$

现用大小为 $30\text{N}$ 的力，沿水平方向拉物体，$2\text{s}$ 后到达 $B$ 处。

求物体与地面的摩擦因数 $mu$。

解：

对物体 $A$ 受力分析：

$$ \begin{cases} F_r&=F-f\ N&=G \end{cases} $$

展开：

$$ \begin{cases} ma&=F-\mu N\ N&=mg \end{cases} $$

得到方程组：

$$ \begin{cases} x&=\dfrac{1}{2}at^2\ ma&=F-\mu mg \end{cases} $$

代数，得：

$$ \begin{cases} 20\text{m}&=\dfrac{1}{2}a\cdot(2\text{s})^2\ 2\text{kg}\cdot a&=30\text{N}-\mu\cdot20\text{N} \end{cases} $$

解得：

$$ \begin{cases} a&=10\text{m/s}^2\ \mu&=0.5 \end{cases} $$

即 $mu=0.5$。

传送带模型

加速度：

$$ a=g\sin\theta\pm\mu g\cos\theta $$

表示重力下滑分量和滑动摩擦力的作用。

假设可以共速静止，比较 $tan\theta$ 和 $mu$。

判断共速时的位与和传送带长度之间的关系。

善用 $v-t$ 图像。

一板一物模型

地面光滑：

木板有初速度。
木板无初速度。

地面不光滑：

木板有初速度。
木板无初速度。

详见[课件](https://huggingface.co/datasets/RainPPR/whk/resolve/main/physics/第13讲板块模型.pdf)内容。

叠加体相对静止

广义连接体，指不用绳子连接的连接体，常见的有用静摩擦力、刚体弹力提供的。

叠加体相对静止，可以看为是由摩擦力提供拉力的连接体模型，因此下面的步骤也非常相似。

整体法可求得加速度。

隔离法可求得摩擦力，也可以整体一部分物体。

可以得出，摩擦力与斜面夹角无关，与摩擦因数有关：

$$ f=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F-\mu mg\cos\theta $$

若斜面是水平面（$theta=0$），那么 $cos\theta=1$：

$$ f=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F-\mu mg $$

同样也类似质量分配原则，其中 $1$ 是力没有直接作用在的那个物体。

叠加体相对滑动

找到不受外力的物体，即可能会发生相对滑动的物体，
隔离法，求出这个物体的最大加速度，
整体法，求出最大的外力大小。

形式一：拉着下面的 $M$ 走，其上表面 $mu_1$、下表面 $mu_2$：

$$ F=(m+M)(\mu_1+\mu_2+\tan\theta)g\cdot\cos\theta $$

若斜面是水平面（$theta=0$），那么 $cos\theta=1,\tan\theta=0$：

$$ F=(m+M)(\mu_1+\mu_2)g $$

形式二：拉着上面的 $m$ 走，其下 $M$ 上表面 $mu_1$、下表面 $mu_2$：

$$ F=\dfrac{m}{M}(m+M)(\mu_1-\mu_2)g\cdot\cos\theta $$

若斜面是水平面（$theta=0$），那么 $cos\theta=1$：

$$ F=\dfrac{m}{M}(m+M)(\mu_1-\mu_2)g $$

注意此形式下，需要上物体能拉动下物体，拉不动的话就更简单了。

启动模型

解题方法

对（物体），做（运动段），如图（受力分析），列（平衡／牛二）。

$$ \begin{aligned} F_{\text{合}}=ma&=F-f\ F&=\frac{P}{v} \end{aligned} $$

得出（一定要受力分析）：

$$ \begin{aligned} F&=f+ma\ ma&=\frac{P}{v}-f \end{aligned} $$

恒定功率启动

随着汽车的加速，

$v$ 增大，$P$ 不变，$F$ 减小，$F_r$ 减小；
$m$ 不变，$a$ 减小，$v$ 变化放缓。
直至 $F=f$，汽车匀速运动。

即汽车加速到一定程度后，汽车将保持匀速运动。

恒定加速度启动

按照时间顺序：

$a$ 不变，$m$ 不变，$f$ 不变，$F$ 不变；
$v$ 增大，$P$ 增大，汽车持续增速；
汽车增速到一定程度后，$P$ 无法继续增大：
此时 $P$ 恒定，故进行恒定功率启动式的加速。

做题思路

对匀速运动状态分析：平衡 $F=f$；
对匀加速末状态分析：牛二 $ma=P/v-f$；
对加速阶段状态分析：牛二 $ma=P/v-f$。

F-1/v 图像

按照时间，从右往左，因为汽车速度增大，倒数减小。

牵引力为水平直线的：匀加速运动。
牵引力逐渐下降的：加速度逐渐减小。
牵引力端点位置：最终状态匀速直线运动。

做题方法：同上，一定要分析的是拐点和端点处的受力分析。

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