天体的运动

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宇宙概述

[TODO] 地理内容。

天体概述

重力加速度

定义表面的物体：不绕着星球转，不一定在地面。

同步卫星不属于表面物体。

地面位置：

由万有引力等于重力：

$$ G\dfrac{Mm}{R^2}=mg $$

得：

$$ MG=R^2g $$
这也是联系天体运动和重力加速度的黄金代换式。

整理得 $g=\dfrac{MG}{R^2}$。

表面以上：

由万有引力等于重力，得 $MG=(R+h)^2g$。
整理得 $g=\dfrac{MG}{(R+h)^2}$。

星球内部：

考虑万有引力，只有星球的一部分对物体产生万有引力。
对物体产生万有引力的部分的星球质量：$M'=\dfrac{4}{3}\pi(R-h)^3\rho$。
由 $G\dfrac{M'm}{(R-h)^2}=mg$，得 $g=\dfrac{G}{(R-h)^2}M'$。
整理得，$g=\dfrac{G}{(R-h)^2}\times\dfrac{4}{3}\pi(R-h)^3\rho=\dfrac{4}{3}G\pi(R-h)\rho$。

加速度比值：

$$ \dfrac{g_1R_1^2}{g_2R_2^2}=\dfrac{M_1}{M_2} $$

Note

极点位置

到地轴的距离为 $0$，即向心力 $F_c=0$。

展开：

$$ \begin{aligned} F_g&=G+F_c\ MG&=R^2g_0\ M&=\dfrac{R^2g_0}{G} \end{aligned} $$

Note

赤道位置

此时 $G$ 和 $F_c$ 方向相同，则 $F_g=G+F_c$。

展开：

$$ \begin{aligned} F_g&=G+F_c\ G\dfrac{Mm}{R^2}&=mg+m\omega^2R\ \dfrac{MG}{R^2}&=g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R\ MG&=R^2g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R^3 \end{aligned} $$

联立上述二式，可解得 $g_0$：

$$ \begin{aligned} \dfrac{R^2g_0}{R^2}&=g+\omega^2R\ g_0&=g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R \end{aligned} $$

同时，也可解得 $R$：

$$ \begin{aligned} R^2g_0&=R^2g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R^3\ g_0&=g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R\ R&=\dfrac{(g_0-g)T^2}{4\pi^2} \end{aligned} $$

联立上述四式，可解得 $M$，不过这玩意没啥用。

星球密度

解：

$$ \begin{aligned} \rho&=\dfrac{M}{V}=\dfrac{\frac{R^2g_0}{G}}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\dfrac{3R^2g_0}{4\pi GR^3}\ &=\dfrac{3g_0}{4\pi GR}=\dfrac{3g_0}{4\pi G\frac{(g_0-g)T^2}{4\pi^2}}=\dfrac{3g_0\pi}{G(g_0-g)T^2}\ &=\dfrac{g_0}{g_0-g}\cdot\dfrac{3\pi}{GT^2} \end{aligned} $$

这是根据极点、赤道重力加速度计算星球密度，下面有简化版的。

自力更生 g－R 法

由，

$$ MG=gR^2 $$

得，

$$ M=\dfrac{gR^2}{G} $$

因此，

$$ \rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{gR^2\cdot3}{G\cdot4\pi R^3}=\dfrac{3g}{4\pi GR} $$

借助外援 T－R 法

由，

$$ T^2MG=4\pi^2r^3 $$

得，

$$ M=\dfrac{4\pi^2r^3}{GT^2} $$

因此，

$$ \rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{4\pi^2r^3\cdot3}{GT^2\cdot4\pi R^3}=\dfrac{3\pi r^3}{GT^2R^3} $$

贴地飞行时（$r=R$），可以写出：

$$ \rho=\dfrac{3\pi}{GT^2} $$

这也是最经典的式子。

借助外援 v－R 法

由，

$$ MG=rv^2 $$

得，

$$ M=\dfrac{rv^2}{G} $$

因此，

$$ \rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{rv^2\cdot3}{G\cdot4\pi^2 R^3}=\dfrac{3rv^2}{4\pi^2GR^3} $$

借助外援 v－T 法

由，

$$ T=\dfrac{2\pi r}{v} $$

得，

$$ r=\dfrac{vT}{2\pi} $$

带入上一个方法，

$$ \rho=\dfrac{3Tv^3}{8\pi^3GR^3} $$

万有引力定律

物理量	符号	表达式
星球半径	$R$
质心间距	$r$	$r=R_1+d+R_2$
轨道高度	$h$	视为质点后有 $h=r-R$

公式：

$$ F=G\dfrac{Mm}{r^2} $$

其中

质心间距 $r$，一般表示为 $r=R_1+d+R_2$。
万有引力常量 $G$，一般取 $G=\pu{6.67\times10^-11N*m^2/kg^2}$。

同时，可得引力加速度：

$$ a_g=\dfrac{F_g}{m}=G\dfrac{M}{r^2} $$

同样，引力势能定义无穷远处为 $0$，则：

$$ E_p=-G\dfrac{Mm}{r} $$

如果选取地面为引力势能的零势能面，那么地面上的物体的引力势能就可以近似为重力势能。

壳层定理

壳层定理可简化重力于对称球体内部和外部的贡献，最先由牛顿在所推演出来，其阐明了

球对称物体对于球体外的重力贡献如同将球体质量集中于球心。
在对称球体内部的物体不受其外部球壳的重力影响。

推论一：在均匀球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为 $0$。

理解方法：取球壳内任意一点 $P$，过这个点确定任意一条直线，做出一个锥形角，两个锥形在球壳上形成了一个投影，此时距离 $P$ 点近的一部分面积小、距离 $P$ 远的一部分面积大，感性理解合力为零。

严格证明：

取一个微小锥形角 $mathrm{d}\Omega$，在球壳上两个面元 $mathrm{d}S_1,\mathrm{d}S_2$，距离点 $P$ 距离分别为 $r_1,r_2$。

根据球壳的几何性质，面元面积与到 $P$ 的距离平方成正比：

$$ \dfrac{\mathrm{d}S_1}{\mathrm{d}S_2}=\dfrac{r_1^2}{r_2^2} $$

因此，两区域的引力大小相等：

$$ G\dfrac{\sigma\mathrm{d}S_1}{r_1^2}=G\dfrac{\sigma\mathrm{d}S_2}{r_2^2} $$

将球壳划分为无数对这样的对称面元，每对引力均抵消，故总合力为零。

推论二：

在半径为 $R$ 的均匀球体内部，距离球心 $r(r<R$ 处，质点受到的万有引力等于半径为 $r$ 的同心球体对其的万有引力，公式如下：

$$ F=G\dfrac{M'm}{r^2}=G\dfrac{m}{r^2}\cdot M\dfrac{r^3}{R^3}=G\dfrac{Mm}{R^3}r $$

利用推论一推导即可。

引力的计算

模型一：割补法。

模型二：两个半径相同、材质相同的实心球紧贴，则其万有引力和球体半径 $r$ 的关系：

$$ F=G\dfrac{m^2}{(2r)^2}=\dfrac{G\left(\rho\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^3\right)^2}{4r^2}=\dfrac{4}{9}G\pi^2\rho^2r^4 $$

即：半径变为原来的 $k$ 倍，万有引力变为原来的 $k^4$ 倍。

开普勒三大定律

开普勒第一定律

又称：椭圆定律、轨道定律。

行星绕太阳的轨迹是椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律

又称：等面积定律。

在相等时间内，行星与太阳的连线扫过的面积相等。

结论：近日点速度较大，远日点速度较小。

开普勒第三定律

又称：周期定律。

行星轨迹的半长轴 $a$ 的三次方与公转周期 $T$ 的平方的比值是一个定值 $k$。

用公式表示为：

$$ \dfrac{{a_1}^3}{{T_1}^2}=\dfrac{{a_2}^3}{{T_2}^2}=k $$

其中 $k$ 是常数，只与中心天体的质量有关。

$$ k=\dfrac{GM}{4\pi^2} $$

对于圆轨道的，现在可以由万有引力等于向心力推导：

$$ \begin{aligned} G\dfrac{Mm}{r^2}&=m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r\ \dfrac{r^3}{T^2}&=\dfrac{GM}{4\pi^2} \end{aligned} $$

若两天体绕同一中心天体，则，

$$ \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3=\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2 $$

因此，若一天体轨道半径为另一天体的 $lambda$ 倍，则其周期为：

$$ T'=T\sqrt{\lambda^3} $$

也就是，

$$ \lambda=\sqrt[3]{\left(\dfrac{T'}{T}\right)^2} $$

另外，根据这个可以推导天体质量或周期。

三大宇宙速度

第一宇宙速度

第一宇宙速度（又称环绕速度）是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度，也是环绕地球做圆周运动的最大环绕速度。

物体从地面发射，即 $r=R$，那么：

$$ v_1=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}=\sqrt{\dfrac{R^2g}{R}}=\sqrt{gR}\approx\pu{7.9km/s} $$

其中的 $GM=R^2g$ 后面会提到。

也可以和圆周运动离心运动联系起来。

补充：星球的瓦解

星球表面的（线）速度一定不超过第一宇宙速度 $v=\sqrt{gR}$。

当速度超过第一宇宙速度，星球表面的物体就会漂浮，导致星球瓦解。

也就是说，半径为 $R$ 的星球，瓦解的角速度为 $omega=\sqrt{g/R}$。

第二宇宙速度

第二宇宙速度（又称脱离速度、逃逸速度）是指在地球上发射的物体摆脱地球引力束缚，飞离地球所需的最小初始速度。

物体从地面发射，即 $r=R$，那么从动能和重力势能的角度：

$$ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}mv_2^2&=G\dfrac{Mm}{R}\ v_2&=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}\ &=\sqrt{2gR} \end{aligned} $$

也就是说：

$$ v_2=\sqrt{2}v_1\approx\pu{11.2km/s} $$

第三宇宙速度

第三宇宙速度（又称周期定律），是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度。

在地球轨道上，要脱离太阳引力所需的初始速度为 $42.1\mathrm{km/s}$；地球绕太阳公转时令地面所有物体已具有 $29.8\mathrm{km/s}$ 的初始速度。

故此若沿地球公转方向发射，还需要提供 $12.3\mathrm{km/s}$ 的动能，因此在脱离地球引力以外额外再加上适当的动能即可：

$$ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}m{v_3}^2&=\dfrac{1}{2}m{v_2}^2+\dfrac{1}{2}m\Delta v^2\ {v_3}^2&={v_2}^2+\Delta v^2\ v_3&=\sqrt{{v_2}^2+\Delta v^2}\ v_3&\approx\sqrt{11.2^2+12.3^2}\approx 16.7\mathrm{km/s} \end{aligned} $$

记忆方法：

第一 $7.9$。
第二 $1+1$（$1+1=2\Rightarrow11.2$）。
第三 $1+6$（$1+6=7\Rightarrow16.7$）。

天体运动概述

标准重力参数

假设 $m\ll M$，因此整个系统的标准重力参数就是主天体标准重力参数：

$$ \mu=GM $$

单位为 $pu{km^3s^-2}$，对于圆轨道：

$$ \mu=rv^2=r^3\omega^2 $$

根据开普勒第三定律（其中 $a$ 表示半长轴）：

$$ \mu=4\pi^2\dfrac{a^3}{T^2} $$

因为课内不学，因此下文大多以 $GM$ 形式出现。

匀速圆周运动

天体运动公式：

黄夫人公式：$T^2MG=4\pi^2r^3$。

物理量的变化：

当 $r$ 增大时，$v$ 减小、$omega$ 减小、$a$ 减小，$T$ 增大（前提：圆周运动）。
简记为：高轨低速大周期（速度：线速度、角速度、加速度）。

代数运算：常取 $G\approx 20/3\times10^{-11}$（忽略单位），$pi^2\approx 10$。

双星和多星

两个星球同时绕一质心 $O$ 做匀速圆周运动。

性质：圆周轨道双星 $omega$ 相同，理解，必然。

基本原理为 $F_g=F_c$，列式：

$$ \begin{aligned} G\dfrac{m_Am_B}{L^2}&=m_A\omega^2r_{OA}\ G\dfrac{m_Am_B}{L^2}&=m_B\omega^2r_{OB}\ \end{aligned} $$

两式做比：$m_Ar_{OA}=m_Br_{OB}$。

两式做和：

$$ GM=G(m_A+m_B)=\omega^2L^2(r_{OA}+r_{OB})=\omega^2L^3 $$

其中 $M=m_A+m_B$。

结论：

此双星系统中，两星所受万有引力大小相等。
此双星系统中，$omega$ 只与两星总质量 $M$ 和间距 $L$ 有关。
若一星质量加 $Delta m$，一星质量减 $Delta m$，$omega$ 不变。
此双星系统中，一星质量越大，公转半径越小。
此双星系统中，根据两星 $omega$ 相同，则 $v=r\omega$，公转半径越大，速度越大。
综上两条，一星质量越大，公转半径越小，速度越小。

对于 $N$ 体问题，一般只考虑星体依次连线，或者形状为正 $N$ 边形的情况。

与 $mu$ 相关	加速度和周期
$v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$	$a=\dfrac{MG}{r^2}$
$omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}$	$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$

	角速度公式	周期公式
双星系统	$omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}$	$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$
三星系统	$omega=\sqrt{\dfrac{3GM}{r^3}}$	$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{3GM}}$

多星问题 {width="90%"}

此时，存在两个可用的条件，$omega$ 相同，以及万有引力的合力提供向心力。

列式即可，也可以使用质心解决。

相遇与追及

总体思路：用相对角速度算时间，以速度小的（一般为高轨道）为基准。

公式：$t=\dfrac{\mathrm{rad}}{\Delta\omega}$，即相对角度除以相对角速度。

卫星问题

轨道概述

轨道方向：

顺行轨道：与行星自转方向同向的轨道。
逆行轨道：与行星自转方向相反的轨道。

近点和远点：

近点（Pe）：距离轨道环绕的物体最近的点。
远点（Ap）：距离轨道环绕的物体最远的点。

升空与着陆：

借助重力转弯，加速度不要太大，避免把燃料浪费在与大气阻力对抗。
达到目标高度后，顺向加速，提高速度至可以留在轨道上。
着陆前，逆向加速，进入大气层后，大气阻力也会使你减速。

离心率与调整离心率：

开普勒轨道：是天体力学描述在三维空间的椭圆、抛物线、双曲线（还有直线）轨道上运动的物体在二维轨道平面上的轨道运动。其只考虑两个点状物体之间的引力作用，而忽略与其它物体之间引力交互作用的摄动、大气拖曳、太阳辐射压、非球面的中心物体等等。
离心率为 $0$ 是圆，小于 $1$ 是椭圆，$1$ 是抛物线，大于 $1$ 是双曲线。
顺向加速能够提高离心率，逆向加速能够降低离心率。
离心率小于 $0$ 就会着陆，离心率大于等于 $1$ 就会脱离天体。

倾角与调整倾角：

轨道平面与其环绕物体的赤道面之间的角度差。
沿法线、逆法线方向加速，可以调整倾角。

重力弹弓效应：

奥伯特效应：即速度越快，速度变化量相同的变化所改变的动能越大。
重力助推，又称重力弹弓效应、绕行星变轨，是利用行星或其他天体的相对运动和引力改变飞行器的轨道和速度。
从重力助推中获得更多能量的既定方法是在近拱点（此时飞行器拥有最大速度）点燃火箭。
重力助推既可用于加速飞行器，也能用于降低飞行器速度。

卫星轨道

极轨道：

极轨道是地心轨道的一种，其特点是沿此轨道运行的卫星在每次环绕地球的圆周运动中都从两极上空经过。
这类轨道的倾角是 $90^\circ$ 或接近，极轨道卫星的缺点是不能对地球上某一点进行持续观测（这通常要靠地球静止轨道卫星来实现）。

根据轨道高度：

高地球轨道：周期大于一天。
地球同步轨道：周期等于一天。
低、中地球轨道：周期小于一天，最小周期约为 $84$ 分钟。

特殊的：

同步卫星（又称静止卫星），为相对赤道不动的卫星。
其轨道高度一般在 $5.6R\approx \pu{35,786km}$，环绕速率约为 $pu{3.1km/s}$。

$$ T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{MG}} $$

此时带入后的 $T$ 恰好和地球自转周期相近。
同步卫星不属于地球表面，常用公式：

$$ v=r\omega $$

$$ a=\omega^2r $$
记为：同步卫星看地面（周期和线速度相同）。

活力公式

活力公式，又称为轨道能量守恒方程，表示二体问题中的总能量守恒，即轨道上任一点的动能与势能之和为常数。

对任意开普勒轨道，活力公式的表达式为：

$$ v^2=GM\left({\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{a}}\right) $$

其中，

$v$ 表示两天体间的相对速度。
$r$ 表示两天体间的相对距离
$a$ 表示半长轴。
$G$ 表示万有引力常数。
$M$ 表示两天体的总质量。

在忽略卫星的质量时通常很好用。

霍曼转移

如图：

霍曼转移（提高） {width="100%"}

霍曼转移（降低） {width="100%"}

航天器无需经过多次反复的加减速过程，仅需进行两次相同方向的推进即可升高或降低轨道。
霍曼转移是一些情况下消耗能量最小的转移方式，其节省了在变换方向加减速时的能量浪费。
在理论中，我们假设航天器的加速或减速是瞬间完成的，而在现实中不是这样。任何航天器的加速都需要时间（否则加速度 $a$ 即为无穷大），而这就导致事实上霍曼转移并非没有燃料浪费，飞船仍需消耗部分燃料来补偿加速所消耗时间带来的影响。

有 $Delta v$ 为：

假设速度改变是瞬间达成，霍曼转移所需的两次 $Delta v$ 为：

$$ \Delta v_1={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right) $$

$$ \Delta v_2={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\right) $$
其中 $r_1,r_2$ 分别是原本圆轨道与目标圆轨道的半径。

以提高轨道为例：

于 $v_1$ 点火后 $v_p$，最高轨道 $v_q$ 点火加速到 $v_2$ 圆周。

$$ v_q<v_2<v_1<v_p $$

圆轨道使用高轨低速大周期判断速度即可。
根据开普勒第三定律，转移时间为椭圆轨道周期的一半：

$$ t_{H}=\pi{\sqrt{\frac{(r_1+r_2)^3}{8\mu}}} $$
简记为，椭圆轨道在两极，点火加速 $a$ 不变，周期看长轴（开三）。

双椭圆转移

双椭圆转移，是一种使航天器在高度不同的轨道间转移的方式。

双椭圆转移全过程需要三次推进，方向不同，此过程中存在明显能量损耗。

当两个圆轨道半径之比大于 $12$ 时，消耗燃料比霍曼转移更少，消耗时间更多。

总转移时间是两个半椭圆轨道所需时间的总和，感兴趣的可以了解 Spacecraft Dynamics and Control, Lecture 9: Bi-elliptics and Out-of-Plane Maneuvers。

比值问题

假设中心天体相同。

已知 $r$ 之比求 $T$ 之比

由，

$$ T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{MG}} $$

得，

$$ \dfrac{T_1}{T_2} = \sqrt{\dfrac{r_1^3}{r_2^3}} $$
已知 $r$ 之比求 $v$ 之比

由，

$$ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $$

得，

$$ \dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{r_2}{r_1}} $$
已知 $r$ 之比求 $omega$ 之比

由，

$$ \omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}} $$

得，

$$ \dfrac{\omega_1}{\omega_2} = \sqrt{\dfrac{r_2^3}{r_1^3}} $$
已知 $r$ 之比求 $a$ 之比

由，

$$ a=\dfrac{GM}{r^2} $$

得，

$$ \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{r_2^2}{r_1^2} $$
特殊的

有反比：

$$ \dfrac{T_1}{T_2}\cdot\dfrac{\omega_1}{\omega_2}=1 $$
朴素的
1. 将题目给出的物理量转化为半径之比。
2. 根据半径之比，结合公式得出所求比。

如果中心天体（质量）不同，保留 $M$ 即可。

大胆假设

我们修改物理定律------万有引力定律，让其以 $n$ 次方衰退，也就是说

$$ F=G\dfrac{Mm}{r^n} $$

这是一个很经典的物理问题，可以通过分析有效势能来系统地解决这个问题，这里给出结论。

当 $n<3$ 时：稳定有界或无界的轨道。特殊的，当 $n=2$ 即我们的物理规则，这些有界轨道是完美的、闭合的椭圆。否则，这些轨道通常不是闭合的，它们看起来像不断进动的椭圆，即所谓的"玫瑰线轨道"。每次到达近地点时，方位角都会发生偏移。这种现象被称为"拱点进动"。
当 $n=3$ 时：临界情况，中性稳定或不稳定的轨道。任何微小的扰动都会导致小天体要么开始向内螺旋式坠落，要么向外螺旋式飞离。不存在稳定的、非圆形的有界轨道。在这种特殊的幂律下，轨道可以形成所谓的科茨螺旋。
当 $n>3$ 时：不存在任何稳定的轨道，只有螺旋式坠毁或直接逃逸的轨道。

这个分析也从一个侧面解释了为什么我们的宇宙是现在这个样子。平方反比定律（$n=2$）不仅允许稳定的轨道存在，而且还具有一个非常特殊的性质（伯特兰定理表明），即它是唯一能保证所有有界轨道都闭合的引力形式（除了线性回复力），这使得行星系统更加稳定和有序。

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